Функція називається неперервною в точці , якщо для будь-якої послідовності відповідна послідовність значень збігається до
Функція називається неперервною в точці
,якщодля довільного числа
існує число
таке, що для всіх
, які задовольняють умову
, виконується нерівність
.
Наведені означення рівносильні.
Функція називається неперервною в точці
справа (зліва), якщо
.
Отже, функція неперервна в точці
, якщо вона неперервна в цій точці як справа, так і зліва.
Покажемо, що неперервна функція характеризується тим, що нескінченно малому приростові аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції
.
Дійсно, умову можна записати як
. Тоді
.
Отже, можна дати наступне означення неперервності функції в точці . Функція
називається неперервною в точці
, якщо нескінченно малому приростові аргументу в цій точці відповідає нескінченно малий приріст функції.
Уведене поняття неперервності функції є локальною (місцевою) властивістю. Якщо функція неперервна в кожній точці інтервалу
, то говорять, що вона неперервна на інтервалі
. Якщо при цьому в точці
функція неперервна справа, а в точці
– неперервна зліва, то говорять, що функція
неперервна на відрізку
.
Зауважимо, що термін неперервної кривої походить із поняття неперервної функції. Графіком неперервної на функції є неперервна крива ("суцільна крива").
Операції над неперервними функціями
Теорема. Якщо функції неперервні в точці
, то функції
у точці
також неперервні.
Доведення цієї теореми безпосередньо випливає з означення неперервності функції в точці та властивостей границь.
Теорема (про неперервність складеної функції). Якщо функція неперервна в точці
, а функція
неперервна в точці
, причому
, то складена функція
неперервна, як функція від
, у точці
.
Доведення. Нехай задано довільне число . Тоді за неперервністю функції
у точці
знайдеться число
таке, що
для всіх
, які задовольняють умову
.
Для числа за неперервністю функції
у точці
знайдеться число
таке, що
для всіх
, які задовольняють умову
.
Отже, для довільного числа знайдеться число
таке, що з умови
випливає нерівність
, а це означає, що функція
неперервна в точці
.
Можна довести, що всі елементарні функції в області їх визначення неперервні.
Звернемо увагу на те, що з означення неперервності функції у точці
випливає
.
Наведемо приклади деяких важливих границь, обчислення яких спирається на неперервність елементарних функцій.
1) .
Доведення.
.
Якщо , то маємо:
, тобто при
виконується
.
2) .
Доведення. Покладемо . Тоді
. Якщо
, то
і
.
.
Якщо , то маємо:
, тобто при
справедливо
.
3) .
Доведення. Покладемо . Якщо
, то
і
.
Далі
. Звідси маємо:
. Тоді
Розглянемо степенево-показниковий вираз . Нехай
. Запишемо
.
Оскільки , то
. Звідси маємо
.
Зазначимо, що вирази є не визначеними. Для знаходження відповіді на питання, що є границею виразу
, у цих випадках недостатньо знати лише границі функцій
, потрібно знати закон, за яким вони прямують до своїх границь.
3. Класифікація точок розриву функції.