Застосування правила Лопіталя при розкритті невизначеностей вигляду
Правило Лопіталя можна застосовувати при розкритті невизначеностей вигляду .
Приклади.
1.
.
2.
.
3. .
4.
Знайдемо .
Отже, .
5. .
Знайдемо
.
Отже, .
ЛЕКЦІЯ 20
23. Формула Тейлора для многочлена.
24. Формула Тейлора для довільної функції.
Формула Тейлора для многочлена.
Розглянемо многочлен
,
де - дійсні числа. Продиференціюємо многочлен
раз.
Якщо в наведених формулах покласти , то одержимо
Отже, можна записати
(1)
Нехай маємо многочлен за степенями
, де
- деяке стале дійсне число, тобто
,
де - дійсні числа. Поклавши
, матимемо
.
Звідси аналогічно до попереднього, одержимо
(2)
Формула (1) є окремим випадком ( ) формули (2). Кожну із цих формул називають формулою Тейлора. Формулу (1) інакше називають формулою Маклорена.
Формула Тейлора для довільної функції
Теорема Тейлора.Нехай функція в точці
і в деякому її околі має похідні
- го порядку. Нехай також
деяка точка, що належить околу, про який йде мова. Тоді існує точка
, яка лежить між точками
і
, така, що
(3)
Доведення. Позначимо
Покладемо
Покажемо, що існує точка така, що
.
Зафіксуємо довільну точку із вказаного околу точки
. Для визначеності уважатимемо, що
. Нехай
- змінна, яка пробігає значення відрізку
. Складемо допоміжну функцію
.
Функція на відрізку
задовольняє всім умовам теореми Ролля:
1) неперервна на
,
2) диференційована на
,
( ці властивості функції випливають із умов, накладених на функцію
)
3) на кінцях відрізка функція
має рівні значення. Дійсно
Отже, за теоремою Ролля існує точка така, що
. Знайдемо
.
Оскільки в правій частині одержаної формули знищуються всі члени, за виключенням двох останніх, то
.
Далі маємо:
.
Звідси одержуємо:
.
Формула (3) називається формулою Тейлора, а одержаний вираз - залишковим членом у формі Лагранжа.
Оскільки , то
, де
. Тоді
, де
.
Якщо в формулі Тейлора покласти , то тоді
При маємо формулу Лагранжа
Якщо функція в околі точки
обмежена, то залишковий член
є нескінченно малою вищого порядку порівняно з
при
. Дійсно
.
Отже, залишковий член можна подати у формі
при
,
яка називається формою Пеано.
Якщо в формулі Тейлора покласти , то одержимо формулу Маклорена
.
У цій формулі залишковий член у формі Лагранжа має вигляд
де
,
а в формі Пеано
.
Приклади. Записати формулу Маклорена для функції 1) ; 2)
; 3)
.
Розв'язування.
1) . Оскільки
, то
. Отже,
.
2) . Так як
, то
Звідси маємо
3) .
;
;
ЛЕКЦІЯ 21
25. Ознака монотонності функції.
26. Екстремальні точки.
27. Необхідні й достатні умови існування екстремуми функції.
4. Знаходження найбільшого й найменшого значення функції на відрізку.