Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла
Однією із основних задач диференціального числення є знаходження похідної
заданої функції
. Різноманітні питання математичного аналізу і його застосувань приводять до оберненої задачі: для даної функції
знайти таку функцію
, похідна якої рівна
, тобто
=
.
Відтворення функції за відомою її похідною - одна із основних задач інтегрального числення.
Функція називається первісною для функції
, на деякому проміжку Х, якщо для усіх значень х Î Х виконується рівність
=
.
Якщо - первісна для функції
, то й функція
, де С - довільна стала, також є первісною для функції
, оскільки (
)′ =
+ С ′=
+ 0 =
.
Нехай первісною функції на проміжку Х, крім функції
, є функція
, тобто
=
. Розглянемо різницю
-
. Обчислимо похідну цієї різниці.
( -
)′ =
-
=
-
= 0.
Отже, згідно з теоремою Лагранжа -
= С. Звідси маємо:
=
+ С.
Таким чином, множина первісних функції на проміжку Х, вичерпується функціями виду
+ С, де
- одна із первісних функції
.
Означення. Сукупність усіх первісних функції на проміжку Х називається невизначеним інтегралом функції
на цьому проміжку і позначається
.
Невизначений інтеграл інакше називають інтегралом Ньютона - Лейбніца.
Якщо - одна з первісних функції
, то за означенням
=
+ С.
Знак називається знаком невизначеного інтеграла,
- підінтегральною функцією, а
- підінтегральним виразом.
Операцію знаходження невизначеного інтеграла від функції називають інтегруванням цієї функції.
Основні властивості невизначеного інтеграла
1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції.
(
)′ =
+ С ′=
.
2. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу.
d(
) = d
=
d(x).
3. Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює сумі цієї функції і довільної постійної.
=
.
4. Сталий множник можна виносити за знак інтеграла, тобто, якщо k = const ¹ 0, то
.
Для доведення цієї властивості досить показати, що права чстина рівності є первісною підінтегральної функції:
.
5. Невизначений інтеграл від суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) невизначених інтегралів від кожної функції, тобто
.
Доведення.
.
Таблиця основних інтегралів
Безпосередньо із означення визначеного інтеграла випливають наступні формули, котрі утворюють таблицю основних інтегралів:
1. ,
2. ,
3. ,
4.
5. ,
6. ,
7. ,
8. ,
9. ,
10. ,
11. ,
12. ,
13. ,
14.
Безпосереднє інтегрування
Обчислення інтегралів за допомогою безпосереднього використання таблиці основних інтегралів та їх властивостей називається безпосереднім інтегруванням.
Приклади.
1. .
2. . 3.
.
4. .
Метод підстановки
В основі методу підстановки (методу заміни змінної) лежить формула диференціювання складеної функції. Якщо F ′( x) = f(x), хÎ(a, b), то для довільної диференційованої на проміжку (a, b ) функції x= j(t), де j(t) Î(a, b),якщо t Î(a, b ) маємо:
(F(j(t)))′ = F ′( x) j′(t) = f(x) j′(t) = f(j(t)) j′(t).
Таким чином,
,
тобто
.
Приклади.
1. Обчислити інтеграл .
Розв’язування. Покладемо ,
. Тоді
.
2. Обчислити інтеграл .
Розв’язування. Покладемо . Отже,
.
Інтегрування частинами
Нехай функції і
визначені й диференційовані на деякому проміжку Х. Тоді
.
Звідси маємо
.
Припустимо, що інтеграл існує. Тоді
.
Оскільки , то
. (1)
Довільну сталу С включає в себе інтеграл .
Формула (1) називається формулою інтегрування частинами.
За цією формулою обчислюються , зокрема інтеграли виду
1) ,
,
,
де - многочлен n-ного степеня відносно х,
. Тут слід прийняти
.
2) ,
,
,
,
Тут також - многочлен n-ного степеня відносно х. У цих інтегралах
.
Приклади.
.
.
ЛЕКЦІЯ 24
34. Подання раціональних дробів у вигляді суми найпростіших дробів.
35. Інтегрування найпростіших раціональних дробів.
1. Подання раціональних дробів у вигляді суми найпростіших дробів
Розглянемо дробово-раціональну функцію , де
-
многочлен n-го степеня, а - многочлен k-го степеня. Якщо n³ k, то, виконавши ділення, одержимо
,
де r < k. Наприклад,
.
У вищій алгебрі доводиться, що кожний многочлен можна подати у вигляді добутку
, (1)
де А -коефіцієнт при старшому членові многочлена , а
- корені рівняння
= 0. Множники
називаються елементарними. Якщо серед них є однакові, то групуючи їх, одержимо
, (2)
де . Числа
називаються кратностями коренів
. Серед коренів
можуть бути й комплексні. Якщо
- r-кратний комплексний корінь многочлена з дійсними коефіцієнтами, то цей многочлен має також спряжений з
r-кратний корінь
. Отже, якщо формула (2) містить множник
, де
, то вона також містить і множник
. Перемноживши ці множники, одержимо
=
,
де ,
, p, q - дійсні числа.
Ураховуючи всі комплексні корені многочлена , формулу (2) можна записати у вигляді
,
де - дійсні числа.
Дріб , де r < n називається правильним раціональним дробом.
Теорема. Правильний раціональний дріб , де
можна єдиним чином подати у вигляді суми найпростіших дробів
,
де - дійсні числа.
Подання, про яке йдеться у наведеній теоремі, можна виконати методом невизначених коефіцієнтів, котрий розглянемо на наступному прикладі.
Приклад. Розкласти на найпростіші дроби
.
Розв’язування. Згідно з наведеною теоремою маємо:
,
де - поки що невідомі числа.
Зведемо праву частину останньої рівності до спільного знаменника.
Два многочлени тотожно рівні між собою тоді й тільки тоді, коли рівні між собою коефіцієнти при однакових степенях х. Тому для визначення коефіцієнтів складемо систему
Розв’язавши цю систему, одержимо:
.
Отже,
.