Теорема про вкладені відрізки
Нехай задана послідовність відрізків
, де
(4)
для всіх , таких, що кожний наступний міститься в попередньому і при зростанні
довжина
-ного відрізка прямує до нуля, тобто
. Таку послідовність називатимемо послідовністю вкладених відрізків.
Теорема. Для будь-якої послідовності вкладених відрізків існує єдина точка, яка належить усім відрізкам даної послідовності.
Доведення. З означення вкладених відрізків випливає, що їх ліві кінці утворюють неспадну послідовність
, (5)
а праві – незростаючу
. (6)
При цьому послідовність (5) обмежена зверху, а послідовність (6) обмежена знизу, оскільки і
. Отже, ці послідовності мають границі. Нехай
. За умовою
, а тому
.
Отже, . Покладемо
. Тоді
для всіх
, тобто точка
належить усім відрізкам (4).
Покажемо, що така точка єдина. Припустимо, що існує точка , відмінна від точки
і така, що належить усім відрізкам (4). Тоді для будь-якого
повинна виконуватися нерівність
, з якої випливає , що
, що суперечить умові.
Зазначимо, що теорема не справджується, якщо замість відрізків розглядати інтервали , наприклад для послідовності вкладених інтервалів
(6)
яку б точку з інтервалу
не взяти, вона не буде належати всім інтервалам (6).
ЛЕКЦІЯ 8
13. Теорема про вкладені відрізки.
14. Підпослідовність числової послідовності.
15. Теорема Больцано - Вейєрштрасса.
16. Критерій Коші збіжності числової послідовності.
Теорема про вкладені відрізки.
Нехай задана послідовність відрізків
, де
(4)
для всіх , таких, що кожний наступний міститься в попередньому і при зростанні
довжина
-ного відрізка прямує до нуля, тобто
. Таку послідовність називатимемо послідовністю вкладених відрізків.
Теорема. Для будь-якої послідовності вкладених відрізків існує єдина точка, яка належить усім відрізкам даної послідовності.
Доведення. З означення вкладених відрізків випливає, що їх ліві кінці утворюють неспадну послідовність
, (5)
а праві – незростаючу
. (6)
При цьому послідовність (5) обмежена зверху, а послідовність (6) обмежена знизу, оскільки і
. Отже, ці послідовності мають границі. Нехай
. За умовою
, а тому
.
Отже, . Покладемо
. Тоді
для всіх
, тобто точка
належить усім відрізкам (4).
Покажемо, що така точка єдина. Припустимо, що існує точка , відмінна від точки
і така, що належить усім відрізкам (4). Тоді для будь-якого
повинна виконуватися нерівність
, з якої випливає , що
, що суперечить умові.
Зазначимо, що теорема не справджується, якщо замість відрізків розглядати інтервали , наприклад для послідовності вкладених інтервалів
(6)
яку б точку з інтервалу
не взяти, вона не буде належати всім інтервалам (6).