Задачі, що проводять до поняття похідної
Задача про миттєву швидкість. Нехай матеріальна точка рухається вздовж прямої. Позначимо відстань точки
до деякої початкової точки
даної прямої в момент часу
через
. Тоді в момент часу
, де
- приріст часу, точка
буде знаходитися на відстані від точки
рівній
. Різницю
назвемо приростом ляху.
Відношення називається середньою швидкістю руху точки за проміжок часу
.
Швидкістю руху точки в момент часу або миттєвою швидкістю називається границя відношення
при
, тобто
.
Приклад. Знайти миттєву швидкість рівномірно прискореного руху матеріальної точки з початковою швидкістю і прискоренням
.
Розв'язування. Залежність шляху від часу
при рівно прискореному русі виражається формулою
. Тоді
. Отже,
.
Після спрощення одержуємо
.
Таким чином
.
Задача про лінійну густину неоднорідного стержня. Нехай треба знайти густину неоднорідного прямолінійного стержня в точці , яка знаходиться на відстані
від початкової точки
(див. рис. 11).
Позначимо
величину маси відрізка
. Візьмемо деяку точку
, яка знаходиться на відстані
від початкової точки
. Тоді маса відрізка
буде рівною
. Отже, маса відрізка
, яку ми назвемо приростом маси в точці
,
.
Відношення називається середньою густиною стержня на відрізку
і позначається
.
Лінійною густиною стержня в точці називається границя відношення
при
, тобто
.
Приклад. Нехай маса стержня довжини задається формулою
, де
- сталі числа. Знайти лінійну густину в точці
, яка знаходиться на відстані
від початку стержня.
Розв'язування. Знайдемо приріст маси в точці
.
Отже,
.
Задача про дотичну до кривої. Дотичною до кривої в точці
називається пряма
, з якою співпадає граничне положення січної
за умови, що точка
по кривій
прямує до точки
(рис. 12).
![]() |
Зазначимо, що не в кожній точці крива може мати дотичну. В точках, яких крива зазнає зламу, дотична до кривої не існує. Так, наприклад, не існують дотичні у точці






![]() |
Розглянемо криву, яка задана в системі координат рівнянням







Візьмемо на кривій точку
. Через точки
проведемо січну. Нехай вона утворює з додатним напрямом осі
кут
. Тоді
.
Якщо точка по кривій
наближатиметься до точки
, то координати точки
наближатимуться до координат точки
, тобто
.
Звідси випливає, що коли точка , то
. З іншого боку, якщо
, то за неперервністю функції
маємо:
, тобто
і при цьому
. Таким чином
.
Розглянуті задачі різні за своїм змістом, але вони відрізняються одним і тим способом, якщо в кожній з цих задач незалежну змінну позначити через , а залежну змінну – через
, то для знаходження розв'язку кожної із них потрібно знаходити границю відношення приросту функції до приросту аргументу, за умови, що приріст аргументу прямує до нуля, тобто
.
Означення похідної
Нехай в деякому проміжку визначена функція
. Виберемо довільну точку
і надамо
приросту
такого, що
.
Зазначимо, що може бути як додатним, так і від'ємним. При цьому функція одержить приріст
. Нехай в точці
існує границя
.
Похідною функції в точці
називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля.
Похідну функції в точці
позначають так:
або
. Отже, за означенням
.
Якщо функція має похідну в кожній точці
, то похідна є функцією від
і в цьому випадку позначається так:
або
.