Похідні елементарних функцій
Похідна сталої функції.Похідна функції 
, де 
при 
виражається формулою 
.
Доведення.
.
Похідна степеневої функції 
. Область визначення 
цієї функції залежить від 
. Візьмемо довільну відмінну від нуля внутрішню точку 
області визначення . Тоді
.
Зауваження. Якщо 
, то легко безпосередньо одержати значення похідної при 
. Отже, для будь-якої точки , де - область визначення функції , маємо: 
.
Приклади. 
Похідна показникової функції 
.
Приклади. 
Похідна логарифмічної функції 
.
Зокрема, якщо 
, то 
.
Похідні тригонометричних функцій.
Нехай 
. Тоді
Аналогічно доводиться, що функція 
має похідну 
.
Якщо 
, то
Аналогічно доводиться, що функція
має похідну 
.
Похідна оберненої функції.
Теорема.Нехай функція 
задовольняє всі умови теореми про існування оберненої функції і в точці 
має похідну 
. Тоді обернена до неї функція 
у точці 
має похідну і
.
Доведення. Надамо значенню 
деякий приріст 
. Тоді функція одержить відповідний приріст 
. Оскільки , то за однозначністю функції , 
. Отже, 
.
Якщо 
, то за неперервністю функції 
. Звідси маємо
.
Похідні обернених тригонометричних функцій. Нехай маємо функцію 
. За означенням функції 
.
Згідно теореми про похідну оберненої функції
.
Зауваження. Тут враховано, що при 
виконуються співвідношення 
, тобто 
. Отже, 
, а тому 
. Точки 
не розглядаються, так як 
і 
.
Аналогічно одержуються похідні інших обернених тригонометричних функцій:
ЛЕКЦІЯ 17
13. Диференціал функції.
14. Похідні вищих порядків.
15. Формула Лейбніца для п-ної похідної добутку двох функцій.
16. Диференціали вищих порядків.
Диференціал функції
Нехай функція диференційована в точці . Тоді її приріст у цій точці можна подати у вигляді
,
де 
при . Отже, доданок 
є головною частиною приросту функції, яка лінійно залежить від .
Диференціалом функції в точці називається головна частина приросту функції в цій точці, яка лінійно залежить від .
Диференціал функції позначається так:
.
Враховуючи, що 
, маємо
.
Диференціалом незалежної змінної називається її приріст: 
.
Отже,
.
Із останньої формули випливає, що похідну 
можна обчислити як відношення диференціалів:
.
Диференціал функції має наступний геометричний зміст. Нехай точка 
(рис. 21) на графіку функції має координати 
, де .
 |
 |
Пряма 
- дотична до графіка функції в точці . Тоді приріст 
в точці , який відповідає приросту аргументу, рівний величині відрізка 
. Оскільки 
і 
, то, враховуючи, що , маємо: диференціал 
функції в точці дорівнює приросту ординати дотичної, проведеної до графіка функції в точці з абсцисою , тобто дорівнює величині відрізка 
.
Оскільки диференціал функції є головною частиною її приросту, то це дає можливість застосувати диференціал функції в наближених обчисленнях: із наближеної рівності 
, тобто
.
Отже
(1)
Приклад. Знайти наближено 
.
Розв'язування.Розглянемо функцію 
. Покладемо 
. Тоді 
. Далі маємо 
.
Отже, 
.
Якщо функції 
диференційовані, то мають місце наступні формули:
,
,
,
.
Нехай тепер маємо складену функцію 
, де 
диференційовані функції в точках і 
. Тоді
.
Так як
,
то
.
Оскільки 
, то маємо 
.
Таким чином, якщо функція складена, то форма диференціалу не змінює свого виду. Цю властивість називають інваріантністю форми диференціалу.