Опуклість та вгнутість кривої. Точки перегину
Нехай функція 
визначена на інтервалі 
і в кожній точці цього інтервалу має скінчену похідну. Тоді в кожній точці 
графіка цієї функції можна провести дотичну, не паралельну осі 
. Крива, яка є графіком цієї функції, називається гладкою.
Якщо крива, яка є графіком функції , розміщена не нижче будь-якої дотичної на інтервалі , то вона називається вгнутою догори або просто вгнутою на цьому інтервалі. Іноді її ще називають опуклою вниз (рис. 25).
Якщо крива, яка є графіком функції , розміщена не вище будь-якої дотичної на інтервалі , то вона називається вгнутою донизу або просто опуклою на цьому інтервалі. Таку криву ще називають опуклою вгору (рис. 26).
 |
Точка 
називається точкою перегину гладкої кривої , якщо існує 
-окіл точки 
такий, що в інтервалах 
і 
крива має опуклість різних напрямків (рис. 27).
У цьому випадку графік функції в інтервалах і лежить по різні боки від дотичної, проведеної в точці .
Теорема. Нехай функція визначена на інтервалі і в кожній точці цього інтервалу має похідні до другого порядку включно. Тоді, якщо 
у всіх точках 
, то графік функції на інтервалі вгнутий (опуклий вниз), якщо ж 
у всіх точках , то графік функції на інтервалі опуклий (опуклий вгору).
Доведення. в інтервалах і лежить по різні боки від дотичної, проведеної в точці .
Нехай 
. Виберемо точку 
і покажемо, що графік функції лежить не нижче дотичної, яка проходить через точку . Щоб відрізняти ординату графіка функції і ординату дотичної, останню будемо позначати буквою 
. Запишемо рівняння дотичної в точці :
(1)
Оскільки функція 
має похідні до другого порядку включно, то згідно формули Тейлора (при 
) маємо:
(2)
де 
. Віднімемо від рівності (2) рівність (1)
.
Оскільки 
, то 
, тобто 
. Отже, графік функції у будь-якій, відмінній від , точці лежить вище дотичної, проведеної до нього в точці з абсцисою .
Аналогічно доводиться теорема для випадку .
Установимо необхідну умову існування точки перегину графіка функції . Нехай функція визначена і має неперервні похідні до другого порядку включно на інтервалі . Тоді. Якщо в кожній точці , то графік функції на інтервалі вгнутий (опуклий вниз). Якщо , , - то графік опуклий (опуклий вгору).
Отже, якщо на інтервалі 
, то графік функції точок перегину на цьому інтервалі не має. Таким чином, точка , де може бути точкою перегину графіка функції лише в тому випадку, коли 
.
Отже, умова є необхідною, для того, щоб точка була точкою перегину графіка функції .
Покажемо, що не всяка точка за умови є точкою перегину. Розглянемо такий приклад: Нехай 
. Тоді 
при 
. Але точка 
не є точкою перегину графіка функції (рис. 28).
Установимо достатню умову існування точки перегину графіка функції . Нехай точка така, що й існує таке , що в інтервалах і друга похідна 
має різні знаки. Тоді точка є точкою перегину. Дійсно, за вказаних умов у інтервалах і крива має опуклість різних напрямків. Отже, точка є точкою перегину цієї кривої.
Зауваження. Точка є точкою перегину графіка функції і в тому випадку, коли в точці 
існує дотична до графіка функції , друга похідна в самій точці не існує, але існує в деякому -околі точки , причому в інтервалах і має різні знаки.
Це установлюється аналогічно попередньому.
Приклад. Нехай 
. Ця функція в точці має нескінченну похідну першого порядку й дотична до її графіка в точці 
співпадає з віссю . Друга похідна в точці не існує. Графік функції в точці має перегин, оскільки справа і зліва від точки друга похідна 
має різні знаки (рис. 29).
Асимптоти графіка функції
Пряма 
називається асимптотою кривої , якщо відстань від точки 
кривої до прямої при віддаленні точки у нескінченність прямує до нуля.
Із наведеного означення випливає, що асимптоти можуть існувати лише у тих кривих, які мають як завгодно віддалені точки, тобто у “нескінчених” кривих.
Надалі розрізнятимемо похилі і вертикальні асимптоти. До похилих асимптот належать також і горизонтальні асимптоти.
Теорема.Якщо функція визначена на нескінченості і існують границі
(1)
то пряма 
є похилою асимптотою кривої при 
.
Аналогічно, якщо існують границі
(2)
то пряма є похилою асимптотою кривої при 
.
Доведення. Розглянемо випадок . Оскільки за умовою існують границі (1), то 
. Число 
дорівнює довжині відрізка від точки 
прямої до точки графіка функції (рис. 30).
Відстань 
від точки до прямої рівна 
, де 
- кут, який утворює пряма з додатним напрямом вісі 
( 
, оскільки мова йде про похилі асимптоти). Отже, = 
. Тоді
.
Випадок, коли доводиться аналогічно.
Якщо 
, то пряма 
є горизонтальною асимптотою графіка функції при . Те ж стосується і випадку .
Зауваження. Якщо не існує границя 
, то не існує і границя 
. Отже, у цьому випадку графік функції при асимптот не має. Якщо границя існує і рівна 
, а границя не існує, то у цьому випадку графік функції також асимптот не має.
Із означення асимптоти кривої випливає, що пряма 
є вертикальною асимптотою, якщо принаймні одна з границь 
або 
рівна 
або 
.