Граничний перехід у нерівностях
Теорема . Якщо елементи збіжної послідовності , починаючи з деякого номера
, задовольняють нерівність
, то і границя цієї послідовності задовольняє нерівність
.
Доведення. Нехай, починаючи з деякого номера , елементи збіжної послідовності
задовольняють нерівність
і
. Припустимо, що
. Оскільки
, то для
існує номер
такий, що для
виконується нерівність
, яка рівносильна нерівності
. Тоді із нерівності
одержуємо:
, що суперечить умові. Отже,
.
Випадок доводиться аналогічно.
Наслідок 1. Якщо елементи збіжних послідовностей і
, починаючи з деякого номера
, задовольняють нерівність
, то
.
Нехай, починаючи з деякого номера, виконується нерівність . Тоді для таких
. Отже,
, а тому
. Звідси маємо
. Другий випадок установлюється аналогічно.
Теорема. Нехай члени послідовностей ,
,
, починаючи з деякого номера, задовольняють нерівність
і
. Тоді послідовність
збіжна й
.
Доведення. Задамо довільне число . Тоді для заданого
знайдеться такий номер
, що для
виконуватиметься нерівність
, тобто
. Для цього ж
знайдеться такий номер
, що
для
, тобто
.
Виберемо . Тоді виконуватиметься нерівність
для всіх .
Ураховуючи умову теореми, маємо
або , тобто
для всіх
. Звідси випливає, що
.
Монотонні послідовності
Послідовність називається неспадною ( незростаючою ), якщо виконується нерівність
для усіх
.
Неспадні та незростаючі послідовності називаються монотонними.
Якщо для всіх членів монотонної послідовності виконується строга нерівність
, то послідовність називається зростаючою (спадною). Зростаючі та спадні послідовності називаються також строго монотонними.
З означення випливає, що монотонні послідовності обмежені принаймні з однієї сторони: неспадна обмежена знизу, а незростаюча – зверху.
Теорема. Монотонна обмежена послідовність збіжна.
Доведення. Розглянемо випадок неспадної послідовності .
Отже, нехай для усіх виконуються наступні умови:
1) ;
2) існує таке число , що
.
Розглянемо числову множину , яка складається з усіх елементів послідовності
. За умовою ця множина непорожня і обмежена зверху, а тому має точну верхню межу.
Позначимо . Покажемо, що
.
Оскільки - точна верхня межа елементів послідовності
, то, згідно з властивістю точної верхньої межі, для будь-якого
існує номер
такий, що
. Так як послідовність
неспадна, то при
виконується нерівність
. З іншого боку, згідно з означенням точної верхньої межі,
для всіх
. Таким чином, при
маємо нерівність
, тобто
при
. Отже,
.
Для випадку незростаючої послідовності доведення аналогічне.
*** Із теорем 2.5** і 2.8** випливає, що обмеженість монотонної послідовності є необхідною і достатньою умовою її збіжності.
Число е
Розглянемо послідовність з загальним членом . Покажемо, що ця послідовність є збіжною. Для цього спочатку установимо, що вона зростаюча, а потім – що вона обмежена.
Згідно формули бінома Ньютона
Подамо цей вираз у наступному вигляді
(3)
Так само одержуємо
.
При виконується нерівність
, тому
, тобто послідовність зростаюча.
Оскільки кожний вираз, який стоїть у дужках у формулі (3) менший від одиниці і при
, то
.
За формулою суми нескінченно спадної геометричної прогресії маємо
.
Отже, послідовність обмежена. Таким чином, послідовність із загальним членом збіжна. За означенням границю цієї послідовності позначають буквою
, тобто
.