Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле 3 страница
.
Это приближённое равенство будет тем точнее , чем мельче разбиение тела на части , и в пределе , когда длина диаметров всех частей стремится к нулю , получим точное равенство :
.
Т.к. мы имеем здесь предел интегральной суммы , составленной для непрерывной функции d(x,y,z) в области V , то указанный предел существует и равен соответствующему тройному интегралу :
.
2.2 Определение тройного интеграла
Тройной интеграл является полным аналогом двойного интеграла и строится для функции от трёх переменных в трёхмерном пространстве .
Пусть в некоторой замкнутой пространственной области V ( с объёмом n) определена непрерывная функция трёх переменных f(x,y,z).
Разобьём область V произвольным образом на n частей ( без общих внутренних точек ) с объёмами Dni (i = 1,2,. . . ,n) .Выбрав в каждой из частей по точке (xi , hi , Vi ) , вычислим значения f(xi , hi , Vi ) данной функции в этих точках и составим сумму
интегральная сумма функции f(x,y,z) по области V .
Определение .
Если интегральная сумма s стремятся к некоторому пределу , когда диаметры всех частичных областей Vi стремится к нулю , то этот предел и называется тройным интегралом от функции f(x,y,z) по области V и обозначается символом òòòV f ( x,y,z )dn .
В прямоугольных координатах элемент объёма dn обычно записывают в виде
dn = dx dy dz .
Следовательно , по определению
Функция f(x,y,z) называется в этом случае интегрируемой в области V.
Область V называется при этом областью интегрирования для f(x,y,z) .
2.3 Свойства тройного интеграла
1. Тройной интеграл от алгебраической суммы функции по области V равен алгебраической сумме интегралов , слагаемых по той же области :
для 2-х функций
.
Доказательство .
Исходя из определения тройного интеграла как предела интегральной суммы .
2.Постоянный множитель можно выносить за знак тройного интеграла :
. . .
Доказательство .
Аналогично предыдущему доказательству .
3.Если область V разбить на две области V1 и V2 плоскостью, параллельной какой – либо из координат плоскостей , то
.
Доказательство .
Аналогично доказательству соответствующего свойства в двойном интеграле .
4.Если во всех точках области V для функций f(x,y,z) и j(x,y,z) выполняется неравенство f(x,y,z) £ j(x,y,z) , то
,
т.е. неравенство можно почленно интегрировать .
5.Если во всех точках области V функция f(x,y,z) удовлетворяет неравенствам m £ f(x,y,z) £ M, то
,
где n - объём области V.
6.Теорема о среднем :
,
где Р – некоторая точка области V.
2.4 Вычисление тройного интеграла
Вычисление тройного интеграла также может быть осуществлено сведением к повторным интегралам , а именно путём трёх последовательных простых интегрирований .
1.Пусть вначале областью интегрирования V служит параллелепипед , заданный неравенствами :
а £ x £ b ; c £ y £ d , e £ z £ h ( очевидно , он проектируется на плоскость х Оу в прямоугольник D : а £ x £ b ; c £ y £ d ).
Тогда , если функция f(x,y,z) непрерывна в данном параллелепипеде , функция
.
Вместо Ф(х, у) лучше F(x,y) .
Существует и непрерывна в D и имеет место следующая формула:
. (2.1)
Здесь интеграл òòD( eòh f dz)dxdy называют повторным ; его обычно записывают так :
.
Т.к. òòD Ф(х,у)dxdy = aòb dx còd Ф(x,y)dy , то формулу (2.1) можно переписать так :
. (2.2)
Выражение , стоящее в правой части , называется трёхкратным интегралом ; формула (2.2) и сводит вычисление тройного интеграла ( по параллелепипеду) к вычислению трёхкратного интеграла , т.е. к последовательному вычислению 3-х обыкновенных интегралов .
Анологично могут быть получены формулы :
и им подобные .
2.Пусть теперь область интегрирования V есть следующая замкнутая область ; она ограничена снизу – поверхностью с уравнением z1 = z1( x,y ) , сверху поверхностью с уравнением z2 = z2( x,y ) , с боков – цилиндрической поверхностью ( в частных случаях цилиндрическая поверхность может и стягиваться в линию ) , причём область V проектируется на плоскость хОу в некоторую область D .
Пусть функция f(x,y,z) непрерывна в области V .
Замечание .
Область V такова , что любая прямая , параллельная одной из координат осей , пересекает границу области не более чем в 2-х точках.
Область D , очевидно будет областью определения для непрерывной в ней функции z1(x,y) и z2(x,y) :
z2(x,y) ³ z1(x,y) .
Пусть область D ограничена линиями у1 = у1(х) , у2 = у2(х) ,
а £ х £ b .
Уравнение АСВ : у1 = у1(х) ; уравнение АЕВ : у2 = у2(х) .
Будем сначала производить интегрирование по направлению оси Oz . Для этого функция f(x,y,z) интегрируется по заключенному в области V отрезку прямой , параллельной оси Oz и проходящей через некоторую точку М( х ; у ) Î D.
Переменная интегрирования z будет изменяться при данных х и у от z1(х,у) до z2(x,y) , где
z1(х,у) – аппликата точки “ входа ” прямой в область V ;
z2(x,y)- аппликата точки “ выхода ” прямой из области V.
Результат интегрирования представляет собой величину , зависящую от т.М(х;у) , обозначают её через F(x,y) :
.
При интегрировании мы рассматриваем здесь х и у как постоянные ( когда интегрируем по z).
Функция F(x,y) существует и непрерывна в области D .
Значение искомого интеграла òòòV f( x,y,z )dn получим , если возьмём интеграл от F(x,y) при условии , что т.М(х;у) изменяется по области D , т.е. если возьмём òòD F(x,y,)dxdy .
Таким образом , имеет место следующая формула для вычисления тройного интеграла :
= выражая , далее , òòD через повторный получим =
(2.3)
Разумеется порядок интегрирования может быть избран другим .
Очевидно , для этого тело нужно проектировать на другие координатные плоскости .
3.Если область V имеет более сложную форму , то её разбивают на конечное число областей , каждая из которых сводится к рассмотренному выше виду .
Пример2.4.1.
Вычислить , где область V ограничена частью пораболоида y2 + az2 = bx ( a > 0 , b > 0) , находящейся в первом октанте , координатными плоскостями и плоскостью х = с .
.
2.5. Замена переменных в тройном интеграле
Пусть замкнутое пространство области V взаимно однозначно отображается на области V* с помощью непрерывно дифференцирующих функций :
,
,
Якобиан преобразования имеют вид :
Если J¹0 в области V* , то имеет место формула
(2.4)
2.6 Переход в тройном интеграле к цилиндрическим координатам
При вычислении тройных интегралов часто бывает полезно перейти от прямоугольных координат к цилиндрическим .
Если мы на плоскости хОу введём вместо декартовых координат х,у точки М(x;y;z) полярные координаты r , q , оставив аппликату z этой точки без изменения ,то получим так называемые цилиндрические координаты r ,q , z точки М.
Они определяются , таким образом , следующими отношениями :
x = r cos q , y = r sin q , z = z ( r ³ q , 0 £ q £ 2p , - ¥ < z < + ¥ ).
Найдём формулу перехода в тройном интеграле от декартовых координат к цилиндрическим .
Разобьём область V на частичные области Vi координатными поверхностями :
1) r = r0( const) – круговые цилиндры х2 + у2 = r0 , образующие которых параллельны оси Oz ;
2) q = q0 (const) – полуплоскости , проходящие через ось Oz ;
3) z = z0 – плоскости , параллельные плоскости хОу.
Частичными областями Vi служат прямые цилиндры ( рис.2.4).
Объём такого цилиндра dn = Sосн h ( Sосн = dxdy = rdrdq; h = dz).
Поэтому для элемента объёма получаем
dn = rdrdqdz .
Преобразование òòòV f(x,y,z) dn к цилиндрическим координатам производится совершенно аналогично преобразованию двойного интеграла к полярным .
Для этого нужно 1) в выражении подынтегральной функции f(x,y,z) переменные x,y,z заменить по формулам (2.1) и 2) взять элемент объёма dn , равным rdrdqdz .
Формула перехода к цилиндрическим координатам имеет вид
. (2.5)
Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах проводится на основании тех же принципов , что и в случае декартовых координат .
Формулу (2.5) можно было получить из (2.4) вычислив якобиан преобразования :
Пример 2.6.1
В тройном интеграле перейти к цилиндрическим координатам , где V- область , ограниченная цилиндром x2 + y2 = R2 , плоскостями z = 0 , z = 1 ,y = x , y =
и расположенная в I октанте .
Пример 2.6.2
Вычислить , где V – область , ограниченная параболоидом вращения z = 1 – x2 – y2 , цилиндрической поверхностью х2 + у2 = 1 и плоскостью z = 1.
I » 1,31 .
2.7. Тройной интеграл в сферических координатах
В этом случае положение т. М в пространстве можно определить ( имея уже декартову систему прямоугольных координат x,y,z ) задавая 1) расстояние r этой точки от начала координат ( 0 £ r < +¥) , 2) угол j между радиусом – вектором ОМ и положительным направлением оси OZ ( 0 £ j £ p ) и 3) угол q между проекцией ОМ , радиус – вектором ОМ на плоскости хОу и положительным направлением оси Ох ( 0 £ q £ p ).
Установим связь между декартовыми координатами x , y , z точки М и её сферическими координатами .
Прежде всего ( рис.2.7 )
Z = ÷ ОМ÷ cos j = r cos j ; далее ,
Х =÷ ОМ1÷ cos q ; у = ÷ ОМ1÷ sin q , где
÷ ОМ1÷ = ÷ ОМ÷ sin j = r sinj . Отсюда
,
,
Формулы принятого преобразования точек :
( r ³ 0 ; 0 £ j £ p ; 0 £ q £ 2p ).
2.8. Найдём формулу перехода в тройном интеграле от декартовых координат к сферическим
Разобьём область V на частичные области поверхностями :
1) r = r0 (const) – сферы x2 + y2 + z2 = r02 c центром в точке О ( 0 £ r0 < +¥ ) ;
2) j = j0 (const) - конические поверхности (с вершиной в точке О);
3) q = q0 ( const)- полуплоскости , проходящие через ось Oz .
Частичными областями Vi служат параллелепипеды с рёбрами длины dr , rdj , r sinj dq .
( соответственно : по направлению полярного радиуса r , по направлению с меридиана , по направлению параллели ) .
Элемент объёма в сферических координатах :
.
Фомула перехода в тройном интеграле от декартовых координат к сверическим выражается равенством
(2.6)
Формулу (2.6) можно получить используя формулу (2.4) . Якобиан преобразования :
(разл. по элементам 3 строки )=
=
Тогда
sin j > 0 , т.к. 0 < j < p.
Замечание .
Особенно удобно применение сферических координат в случае , когда область интегрирования V- шар с центром в начале координат или шаровое кольцо .
Трудно дать общее указание , когда следует применять ту или иную систему координат . Это зависит и 1) от области интегрирования, и 2) от вида подынтегральной функции .
Иногда следует написать интеграл в разных системах координат и только потом решить , в какой из них вычисление будет наиболее простым .
Пример 2.7.1
Вычислить , где верхняя часть шара x2 +y2 + z2 £ R2 ,
отсекаемая плоскостью хОу .
.
2.9 Приложения тройного интеграла
2.9.1 Объём тела
Пусть f(x,y,z) º 1 во всех точках области V .
Тогда = n ; переход к пределу получим
. (2.7)
Пример 2.9.1.
Найти объём тела , ограниченного сферой x2 + y2 + z2 = 4 и параболоидом 3z = x2 + y2 .
(куб.ед).
2.10. Масса тела
Ранее было получено , что масса неоднородного тела , занимающего пространство области V , равна
, (2.8)
где d(x,y,z) – плотность тела .
Пример .
Найти массу тела , ограниченного конусом и плоскостью z = 4, если плотность в каждой точке тела численно равна аппликате z этой точки .
2.11. Статические моменты и центр тяжести тела
Определение .
Статическим моментом материальной точки относительно плоскости называется произведение массы точки на её расстояние до данной плоскости .
Если дана система материальных точек , то её статический момент определяется как сумма соответствующих статических моментов материальных точек , составляющих эту систему .
Пусть требуется найти статические моменты и координаты центра тяжести тела V относительно координатной плоскости , представляющей собой ( геометрически ) замкнутую область , плотность которой d = d(x,y,z) .
Разобьём тело на частичные области Vi с объёмами Dni ( i = 1 , 2, . . . , n)
В пределах каждой области Vi возьмём по точке (xi , hi , Vi ) .
Считая приближённо плотность в каждой точке малого тела Vi постоянной , равной плотности в точке (xi , hi , Vi ) , получим приближённое выражение для массы этого малого тела :
.
Заменим каждое малое тело материальной точкой (xi , hi , Vi ) с массой Dmi.
Статический момент точки (xi , hi , Vi ) относительно координатной плоскости хОу даст приближённое значение статического момента тела Vi относительно плоскости хОу :
.
Статический момент всего тела :
.
В пределе при условии , что малые тела стягиваются в точку , получим точное значение статического момента :
.
Аналогично выводятся формулы для статического момента тела относительно плоскостей хОz и yOz :
.
.
Координаты центра тяжести тела V определяются равенствами , аналогичными рассмотренным в разделе “ Двойной интеграл ”:
,
где m – масса тела :
Следовательно ,
(2.9)
Замечание .
Для однородного тела d = const , поэтому формулы примут вид :
, (2.10)
где n- объём тела .
Пример 2.10.1
Найти центр тяжести однородного тела , ограниченного пораболоидом z = x2 + y2 , цилиндрической поверхностью х2 + у2 = 4 , плоскостью z = 0 .
(куб.ед).
Исходя из симметрии тела относительно координатных плоскостей xOz и yOz , заключаем , что центр тяжести лежит на оси Oz , поэтому
xc = yc = 0 .
,
т.С ( 0 ; 0 ; 4/3 ).
2.12 Моменты инерции
Пусть дано тело V , плотность которого d = d( x,y,z) . Найдём моменты инерции тела относительно осей координат .
Выделив малое тело Vi с объёмом Dni , найдём приближённое значение его момента инерции относительно оси Ох :
.
Моментом инерции материальной точки относительно оси называется произведение массы этой точки на квадрат расстояния её до этой оси .
Момент инерции тела
.
В пределе при условии , что каждое из малых тел стягивается в точку , получим точное равенство :
. (2.11)
Аналогично :
. (2.12)
Пример 2.11.1
Найти моменты инерции однородного (d = 1 ) цилиндра с высотой Н и радиусом основания а1) относительно диаметра основаия и 2) относительно оси цилиндра , считая , что ось цилиндра направлена по оси Ох .
Поместим начало координат в центр нижнего основания цилиндра .
Тогда уравнение цилиндра : y2 + z2 = a2 .
1.Момент инерции цилиндра относительно диаметра основания = Iz .
Переход к цилиндрическим координатам
х = х ; у = r cosq
.
2.Моменты инерции относительно оси = Ix .
.
Упражнения.
.
Задание 1. Вычислить объём тела , ограниченного указанными поверхностями . Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость ХОУ :
1.1
1.2
1.3