Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле 3 страница

Это приближённое равенство будет тем точнее , чем мельче разбиение тела на части , и в пределе , когда длина диаметров всех частей стремится к нулю , получим точное равенство :

Т.к. мы имеем здесь предел интегральной суммы , составленной для непрерывной функции d(x,y,z) в области V , то указанный предел существует и равен соответствующему тройному интегралу :

2.2 Определение тройного интеграла

Тройной интеграл является полным аналогом двойного интеграла и строится для функции от трёх переменных в трёхмерном пространстве .

Пусть в некоторой замкнутой пространственной области V ( с объёмом n) определена непрерывная функция трёх переменных f(x,y,z).

Разобьём область V произвольным образом на n частей ( без общих внутренних точек ) с объёмами Dn_i (i = 1,2,. . . ,n) .Выбрав в каждой из частей по точке (x_i , h_i , V_i ) , вычислим значения f(x_i , h_i , V_i ) данной функции в этих точках и составим сумму

интегральная сумма функции f(x,y,z) по области V .

Определение .

Если интегральная сумма s стремятся к некоторому пределу , когда диаметры всех частичных областей V_i стремится к нулю , то этот предел и называется тройным интегралом от функции f(x,y,z) по области V и обозначается символом òòò_V f ( x,y,z )dn .

В прямоугольных координатах элемент объёма dn обычно записывают в виде

dn = dx dy dz .

Следовательно , по определению

Функция f(x,y,z) называется в этом случае интегрируемой в области V.

Область V называется при этом областью интегрирования для f(x,y,z) .

2.3 Свойства тройного интеграла

1. Тройной интеграл от алгебраической суммы функции по области V равен алгебраической сумме интегралов , слагаемых по той же области :

для 2-х функций

Доказательство .

Исходя из определения тройного интеграла как предела интегральной суммы .

2.Постоянный множитель можно выносить за знак тройного интеграла :

. . .

Доказательство .

Аналогично предыдущему доказательству .

3.Если область V разбить на две области V₁ и V₂ плоскостью, параллельной какой – либо из координат плоскостей , то

Доказательство .

Аналогично доказательству соответствующего свойства в двойном интеграле .

4.Если во всех точках области V для функций f(x,y,z) и j(x,y,z) выполняется неравенство f(x,y,z) £ j(x,y,z) , то

т.е. неравенство можно почленно интегрировать .

5.Если во всех точках области V функция f(x,y,z) удовлетворяет неравенствам m £ f(x,y,z) £ M, то

где n - объём области V.

6.Теорема о среднем :

где Р – некоторая точка области V.

2.4 Вычисление тройного интеграла

Вычисление тройного интеграла также может быть осуществлено сведением к повторным интегралам , а именно путём трёх последовательных простых интегрирований .

1.Пусть вначале областью интегрирования V служит параллелепипед , заданный неравенствами :

а £ x £ b ; c £ y £ d , e £ z £ h ( очевидно , он проектируется на плоскость х Оу в прямоугольник D : а £ x £ b ; c £ y £ d ).

Тогда , если функция f(x,y,z) непрерывна в данном параллелепипеде , функция

Вместо Ф(х, у) лучше F(x,y) .

Существует и непрерывна в D и имеет место следующая формула:

. (2.1)

Здесь интеграл òò_D( _eò^h f dz)dxdy называют повторным ; его обычно записывают так :

Т.к. òò_D Ф(х,у)dxdy = _aò^b dx _cò^d Ф(x,y)dy , то формулу (2.1) можно переписать так :

. (2.2)

Выражение , стоящее в правой части , называется трёхкратным интегралом ; формула (2.2) и сводит вычисление тройного интеграла ( по параллелепипеду) к вычислению трёхкратного интеграла , т.е. к последовательному вычислению 3-х обыкновенных интегралов .

Анологично могут быть получены формулы :

и им подобные .

2.Пусть теперь область интегрирования V есть следующая замкнутая область ; она ограничена снизу – поверхностью с уравнением z₁ = z₁( x,y ) , сверху поверхностью с уравнением z₂ = z₂( x,y ) , с боков – цилиндрической поверхностью ( в частных случаях цилиндрическая поверхность может и стягиваться в линию ) , причём область V проектируется на плоскость хОу в некоторую область D .

Пусть функция f(x,y,z) непрерывна в области V .

Замечание .

Область V такова , что любая прямая , параллельная одной из координат осей , пересекает границу области не более чем в 2-х точках.

Область D , очевидно будет областью определения для непрерывной в ней функции z₁(x,y) и z₂(x,y) :

z₂(x,y) ³ z₁(x,y) .

Пусть область D ограничена линиями у₁ = у₁(х) , у₂= у₂(х) ,

а £ х £ b .

Уравнение АСВ : у₁ = у₁(х) ; уравнение АЕВ : у₂= у₂(х) .

Будем сначала производить интегрирование по направлению оси Oz . Для этого функция f(x,y,z) интегрируется по заключенному в области V отрезку прямой , параллельной оси Oz и проходящей через некоторую точку М( х ; у ) Î D.

Переменная интегрирования z будет изменяться при данных х и у от z₁(х,у) до z₂(x,y) , где

z₁(х,у) – аппликата точки “ входа ” прямой в область V ;

z₂(x,y)- аппликата точки “ выхода ” прямой из области V.

Результат интегрирования представляет собой величину , зависящую от т.М(х;у) , обозначают её через F(x,y) :

При интегрировании мы рассматриваем здесь х и у как постоянные ( когда интегрируем по z).

Функция F(x,y) существует и непрерывна в области D .

Значение искомого интеграла òòò_V f( x,y,z )dn получим , если возьмём интеграл от F(x,y) при условии , что т.М(х;у) изменяется по области D , т.е. если возьмём òò_D F(x,y,)dxdy .

Таким образом , имеет место следующая формула для вычисления тройного интеграла :

= выражая , далее , òò_D через повторный получим =

(2.3)

Разумеется порядок интегрирования может быть избран другим .

Очевидно , для этого тело нужно проектировать на другие координатные плоскости .

3.Если область V имеет более сложную форму , то её разбивают на конечное число областей , каждая из которых сводится к рассмотренному выше виду .

Пример2.4.1.

Вычислить , где область V ограничена частью пораболоида y² + az² = bx ( a > 0 , b > 0) , находящейся в первом октанте , координатными плоскостями и плоскостью х = с .

2.5. Замена переменных в тройном интеграле

Пусть замкнутое пространство области V взаимно однозначно отображается на области V* с помощью непрерывно дифференцирующих функций :

, ,

Якобиан преобразования имеют вид :

Если J¹0 в области V* , то имеет место формула

(2.4)

2.6 Переход в тройном интеграле к цилиндрическим координатам

При вычислении тройных интегралов часто бывает полезно перейти от прямоугольных координат к цилиндрическим .

Если мы на плоскости хОу введём вместо декартовых координат х,у точки М(x;y;z) полярные координаты r , q , оставив аппликату z этой точки без изменения ,то получим так называемые цилиндрические координаты r ,q , z точки М.

Они определяются , таким образом , следующими отношениями :

x = r cos q , y = r sin q , z = z ( r ³ q , 0 £ q £ 2p , - ¥ < z < + ¥ ).

Найдём формулу перехода в тройном интеграле от декартовых координат к цилиндрическим .

Разобьём область V на частичные области V_i координатными поверхностями :

1) r = r₀( const) – круговые цилиндры х² + у² = r₀ , образующие которых параллельны оси Oz ;

2) q = q₀ (const) – полуплоскости , проходящие через ось Oz ;

3) z = z₀ – плоскости , параллельные плоскости хОу.

Частичными областями V_i служат прямые цилиндры ( рис.2.4).

Объём такого цилиндра dn = S_осн h ( S_осн = dxdy = rdrdq; h = dz).

Поэтому для элемента объёма получаем

dn = rdrdqdz .

Преобразование òòò_V f(x,y,z) dn к цилиндрическим координатам производится совершенно аналогично преобразованию двойного интеграла к полярным .

Для этого нужно 1) в выражении подынтегральной функции f(x,y,z) переменные x,y,z заменить по формулам (2.1) и 2) взять элемент объёма dn , равным rdrdqdz .

Формула перехода к цилиндрическим координатам имеет вид

. (2.5)

Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах проводится на основании тех же принципов , что и в случае декартовых координат .

Формулу (2.5) можно было получить из (2.4) вычислив якобиан преобразования :

Пример 2.6.1

В тройном интеграле перейти к цилиндрическим координатам , где V- область , ограниченная цилиндром x² + y² = R² , плоскостями z = 0 , z = 1 ,y = x , y = и расположенная в I октанте .

Пример 2.6.2

Вычислить , где V – область , ограниченная параболоидом вращения z = 1 – x² – y² , цилиндрической поверхностью х² + у² = 1 и плоскостью z = 1.

I » 1,31 .

2.7. Тройной интеграл в сферических координатах

В этом случае положение т. М в пространстве можно определить ( имея уже декартову систему прямоугольных координат x,y,z ) задавая 1) расстояние r этой точки от начала координат ( 0 £ r < +¥) , 2) угол j между радиусом – вектором ОМ и положительным направлением оси OZ ( 0 £ j £ p ) и 3) угол q между проекцией ОМ , радиус – вектором ОМ на плоскости хОу и положительным направлением оси Ох ( 0 £ q £ p ).

Установим связь между декартовыми координатами x , y , z точки М и её сферическими координатами .

Прежде всего ( рис.2.7 )

Z = ÷ ОМ÷ cos j = r cos j ; далее ,

Х =÷ ОМ₁÷ cos q ; у = ÷ ОМ₁÷ sin q , где

÷ ОМ₁÷ = ÷ ОМ÷ sin j = r sinj . Отсюда

, ,

Формулы принятого преобразования точек :

( r ³ 0 ; 0 £ j £ p ; 0 £ q £ 2p ).

2.8. Найдём формулу перехода в тройном интеграле от декартовых координат к сферическим

Разобьём область V на частичные области поверхностями :

1) r = r₀ (const) – сферы x² + y² + z² = r₀² c центром в точке О ( 0 £ r₀ < +¥ ) ;

2) j = j₀ (const) - конические поверхности (с вершиной в точке О);

3) q = q₀ ( const)- полуплоскости , проходящие через ось Oz .

Частичными областями V_i служат параллелепипеды с рёбрами длины dr , rdj , r sinj dq .

( соответственно : по направлению полярного радиуса r , по направлению с меридиана , по направлению параллели ) .

Элемент объёма в сферических координатах :

Фомула перехода в тройном интеграле от декартовых координат к сверическим выражается равенством

(2.6)

Формулу (2.6) можно получить используя формулу (2.4) . Якобиан преобразования :

(разл. по элементам 3 строки )=

Тогда

sin j > 0 , т.к. 0 < j < p.

Замечание .

Особенно удобно применение сферических координат в случае , когда область интегрирования V- шар с центром в начале координат или шаровое кольцо .

Трудно дать общее указание , когда следует применять ту или иную систему координат . Это зависит и 1) от области интегрирования, и 2) от вида подынтегральной функции .

Иногда следует написать интеграл в разных системах координат и только потом решить , в какой из них вычисление будет наиболее простым .

Пример 2.7.1

Вычислить , где верхняя часть шара x² +y² + z² £ R² ,

отсекаемая плоскостью хОу .

2.9 Приложения тройного интеграла

2.9.1 Объём тела

Пусть f(x,y,z) º 1 во всех точках области V .

Тогда = n ; переход к пределу получим

. (2.7)

Пример 2.9.1.

Найти объём тела , ограниченного сферой x² + y² + z² = 4 и параболоидом 3z = x² + y² .

(куб.ед).

2.10. Масса тела

Ранее было получено , что масса неоднородного тела , занимающего пространство области V , равна

, (2.8)

где d(x,y,z) – плотность тела .

Пример .

Найти массу тела , ограниченного конусом и плоскостью z = 4, если плотность в каждой точке тела численно равна аппликате z этой точки .

2.11. Статические моменты и центр тяжести тела

Определение .

Статическим моментом материальной точки относительно плоскости называется произведение массы точки на её расстояние до данной плоскости .

Если дана система материальных точек , то её статический момент определяется как сумма соответствующих статических моментов материальных точек , составляющих эту систему .

Пусть требуется найти статические моменты и координаты центра тяжести тела V относительно координатной плоскости , представляющей собой ( геометрически ) замкнутую область , плотность которой d = d(x,y,z) .

Разобьём тело на частичные области V_i с объёмами Dn_i ( i = 1 , 2, . . . , n)

В пределах каждой области V_i возьмём по точке (x_i , h_i , V_i ) .

Считая приближённо плотность в каждой точке малого тела V_i постоянной , равной плотности в точке (x_i , h_i , V_i ) , получим приближённое выражение для массы этого малого тела :

Заменим каждое малое тело материальной точкой (x_i , h_i , V_i ) с массой Dm_i.

Статический момент точки (x_i , h_i , V_i ) относительно координатной плоскости хОу даст приближённое значение статического момента тела V_i относительно плоскости хОу :

Статический момент всего тела :

В пределе при условии , что малые тела стягиваются в точку , получим точное значение статического момента :

Аналогично выводятся формулы для статического момента тела относительно плоскостей хОz и yOz :

Координаты центра тяжести тела V определяются равенствами , аналогичными рассмотренным в разделе “ Двойной интеграл ”:

где m – масса тела :

Следовательно ,

(2.9)

Замечание .

Для однородного тела d = const , поэтому формулы примут вид :

, (2.10)

где n- объём тела .

Пример 2.10.1

Найти центр тяжести однородного тела , ограниченного пораболоидом z = x² + y² , цилиндрической поверхностью х² + у² = 4 , плоскостью z = 0 .

(куб.ед).

Исходя из симметрии тела относительно координатных плоскостей xOz и yOz , заключаем , что центр тяжести лежит на оси Oz , поэтому

x_c = y_c = 0 .

т.С ( 0 ; 0 ; 4/3 ).

2.12 Моменты инерции

Пусть дано тело V , плотность которого d = d( x,y,z) . Найдём моменты инерции тела относительно осей координат .

Выделив малое тело V_i с объёмом Dn_i , найдём приближённое значение его момента инерции относительно оси Ох :

Моментом инерции материальной точки относительно оси называется произведение массы этой точки на квадрат расстояния её до этой оси .

Момент инерции тела

В пределе при условии , что каждое из малых тел стягивается в точку , получим точное равенство :

. (2.11)

Аналогично :

. (2.12)

Пример 2.11.1

Найти моменты инерции однородного (d = 1 ) цилиндра с высотой Н и радиусом основания а1) относительно диаметра основаия и 2) относительно оси цилиндра , считая , что ось цилиндра направлена по оси Ох .

Поместим начало координат в центр нижнего основания цилиндра .

Тогда уравнение цилиндра : y² + z² = a² .

1.Момент инерции цилиндра относительно диаметра основания = I_z .

Переход к цилиндрическим координатам

х = х ; у = r cosq

2.Моменты инерции относительно оси = I_x .

Упражнения.

Задание 1. Вычислить объём тела , ограниченного указанными поверхностями . Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость ХОУ :