Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле 9 страница

 

где DSi – площадь Gi , так как точка Vi = Z(xi , hi) .

Переходя в (4.1) к пределу при d®0 получаем

 

. (4.6)

 

Аналогично :

 

. (4.7)

 

G1 – проекция S на Oyz .

 

(4.8)

 

G2 – проекция S на Ozх .

 

4.4.1.Связь между поверхностными интегралами I и II рода

Пусть гладкая ориентированая поверхность , на которой задана непрерывная вектор – функция (М) = [ P(x,y,z), Q(x,y,z) , R(x,y,z)] , (M) – единичная нормаль = ( cosa , cosb , cosg ) , тогда

 

(4.9)

Отсюда видно , что если выбрать другую сторону поверхности , то направляющий косинус изменит знак .

Пример 4.4.2 Вычислить

, где S - поверхность треугольника , образованного пересечением плоскости х – у +z = 1 с координатными плоскостями : х = 0 , у = 0 , z = 0 в верхней стороне поверхности .

 

.

 

.

4.5.Формула Остроградского

4.5.1 Связь между поверхностным интегралом и тройным интегралом

Теорема 4.5.1 Если функции P(x,y,z) , Q(x,y,z) , R(x,y,z)непрерывны вместе со своими частными производными I-го порядка в области V , ограниченной замкнутой поверхностью S , то имеет место формула

 

. (4.10)

 

Пример 4.5.1

,

где S – внешняя сторна сферы x2 + y2 + z2 = R2 .

Решение .

Применим формулу Остроградского :

 

Вводим сферические координаты

 

.

 

 

4.6.Связь поверхностного интеграла с криволинейным интегралом

4.6.1.Теорема Стокса

Рассмотрим формулу, связывающую поверхностный интеграл с криволинейным

Теорема 4.6.1.1. Если Р(x,y,z) , Q(x,y,z) , R(x,y,z) есть непрерывные функции вместе со своими частными производными первого порядка на поверхности S, то имеет место формула

 

,

 

где L – граница поверхности S ; cosa , cosb , cosg - направляющие косинусы нормали к поверхности S .

Доказательство . Пусть уравнение поверхности S

 

 

Рис. 4.7.

Преобразуем сначало криволинейный интеграл по L в криволинейный интеграл по плоскому контуру l :

Т.к. S- верхняя сторона поверхности , т.е. cosg > 0 , то .

Но известно , что направляющие косинусы нормали пропорциональны соответствующим координатным нормалям , таким образом :

.

 

Следовательно,

Переходим к поверхностному интегралу =

(4.11)

2.Аналогично :

 

(4.12)

. (4.13)

3.Складывая (4.11),(4.12), (4.13) , получим доказываемую формулу .

 

Пример 4.6.1.1 Вычислить с помощью формулы Стокса ,

L- окружность

А поверхностью S служит верхняя сторона полусферы x2 + y2 +z2 =1.

 

 

.

 

Упражнения .

Задание 1. Вычислить поверхностные интегралы первого рода по указанным поверхностям :

1.1 .П: полусфера

1.2 .П:поверхность параболоида вращения ограниченная плоскостями z = 0 ; z = 2 ; f(x,y,z) = x2 + y2

1.3 .П: коническая поверхность , ограниченная плоскостями z = 0 ; z = 1 ; f(x,y,z) = x2 +y2

1.4 .П:поверхность параболоида вращения , ограниченная плоскостями z = 0 ; z = 1 ; f(x,y,z) = .

1.5 П:часть поверхность конуса .

 

Задание 2. Вычислить поверхностные интегралы второго рода :

 

2.1 по нижней стороне круга

2.2 по нижней стороне части конуса

2.3 по нижней стороне круга

2.4 по верхней стороне цилиндрической поверхности

2.5 по внешней стороне части поверхности , отсечённой плоскостями у = 0 , у = 1

2.6 по верхней стороне , отсечённой плоскостью z = 0

2.7. По внешней стороне отсечённой плоскостями z = 0 , z = 2

2.8. по внешней части параболоида x = a2 – y2 – z2 , отсечённой плоскостью УО.