Следующие интегралы ( L – пробегаемый

13

в положительном направлении контур ) :

4.1 ; L : треугольник ABC , где

A(1;3) , B(2;4) , C(2;3)

4.2 L : треугольник ABC , где

A(0;0) , B(1;1) , C(1;0)

4.3 ; L : треугольник OAB , где

O(0;0) , A(0;1), B(1;1)

4.4 ; L : x + y = R

4.5 ; L : + = 1

4.6 ; L : треугольник с

вершинами A(1;1), B(2;2), C(1; 3)

4.7 ; L : треугольник ABC ,

где A(1;2), B(-1;3), C(0;4)

4.8 ; L : (x –1) + (y - 1) = 1

4.9 ; L : x + y =25

4.10 ; L : x + y = R

Комплект 2

Задание 1. Вычислить криволинейный интеграл

Первого рода от функции f(x,y) по

Длине дуги L , заданной уравнениями

y = (x) , a x b

1.1 ; L : контур параллелограмма с

вершинами A(0,1) , B(3,0) ,

C(3,2) , D(0,2)

1.2 ; L : окружность x + y + z = a

x + y + z = 0

1.3 ; L : контур треугольника с

вершинами A(0,0) , B(1,0) , C(0,1)

1.4 ; L : x + y = a , x 0, y 0

1.5 ; L : дуга x + y = x - y ; x 0 , y 0

1.6 ; L : часть винтовой линии

x = a cos t , y = a sin t , z = bt , 0 t 2

1.7 ; L : (x + y ) = xy

1.8 ; L : контур треугольника с

вершинами A(0,1) , B(2,0) , C(0,2)

1.9 ; L : x + y = a , x 0, y 0

1.10 ; L : дуга кривой x + y = z , y = ax

Задание 2 . Вычислить криволинейный интеграл

Первого рода от функции f (x ,y ) по длине

Дуги L , заданной параметрическими

уравнениями :

2.1 f (x ,y) = y ; L : x = a cos t , y = a sin t , 0 t

2.2 f (x ,y ) = xy ; L : x = a cos t , y = b sin t , 0 t

2.3 f (x , y) = y ; L : x = a(t–sin t) , y = a(1-cos t) ,

0 t

2.4 f(x , y) = ; L : x = a(cos t + t sin t),

y = a(sin t – t cost) , 0 t 2

2.5 f(x ,y) = 3x -y ; L : x = a(cos t + t sin t),

y = a(sin t – t cost) , 0 t 2

2.6 f(x, y ) = x ; L : x = a(t – t sin t) ,

y = a(1 – cos t) , 0 t 2

2.7 f( x,y ) = xy L : x = ch t , y = ash t , 0 t t

2.8 f( x,y ) = ; L : x = a(t - t sin t) ,

y = a(1-cos t), 0 t

2.9 f( x,y ) = x + y ; L : x = a cos t , y = a sin t ,

0 t 2

2.10 f( x,y ) = + ; L : x = a cos t, y = a sin t,

0 t 2

Задание 3. Вычислить криволинейные интегралы

Второго рода от

Заданных функций по данным линиям в

Указанных направлениях .

3.1 P = x , Q = -yz , R = z ; L : отрезок прямой от

точки А( 1;2;-1) до точки B( 3;3;2 )

3.2 P = yz , Q = xz , R = xy ; L : дуга кривой x = t ,

y = t ; z = t ; 0 t 1

3.3 P = z , Q = x + y + z ,R = x +y ; L : отрезок прямой

от точки A(2;1;0 ) до точки B(4;3;1)

3.4 P = x , Q = y , R = z ; L : дуга кривой x = t ,

y = t , z = t , 0 z 1

3.5 P = z , Q = yz , R = x – y; L : отрезок прямой от

точки A( 1;0;2 ), до точки B( 2;-1;0 )

3.6 P = x + z , Q = y + z , R = x + y ; L : дуга кривой x = t ,

y = t , z = t , 0 t 1

3.7 P = x , Q = y , R = x + y ; L : отрезок прямой от

точки A( 0;1;1 ), до точки B( 2;4;6 )

3.8 P = x + z , Q = x , R = xy ; L : дуга кривой x = sin t

y = sin t , z = sin t , 0 z

3.9 P = z , Q = xy , R = x + y ; L : дуга кривой

x = a cos t , y = a sin t , z = bt , 0 t

3.10 P = 2yz , Q = y - z , R = -x ; L : кривая x = t ,

y = t , z = t , 0 t 1

Задание 4. Проверить , является ли заданное

Выражение полным дифференциалом

Некоторой функци U( x,y ) и в случае

Положительного ответа найти U с

Помощью криволинейного интеграла .

4.1 ( 10xy +12x + 6)dx + ( 15x y- 5)ydy

4.2 ( cos x cos y + 6x +3 )dx + (18y - sin x sin y)dy

1. ( 2cos 2x cos 3y - )dx + ( - 2sin 2x sin 3y)dy

2. ( e - )dx + (sin 3y - )dy

3. ( xye + cos 2x + x )dx + ( + y)dy

4. ( - 1)dx + ( - 10)dy

5. ( arcsin x – x ln y)dx – (arcsin y + )dy

6. ( 2x – 3xy +2y)dx + (2x – 3x y + 2y )dy

7. ( x - 2xy + 3)dx + (y - 2x y + 3)dy

4.10 ( y + ln(x + 1))dx + ( x + 1 - e )dy

Комплект 3.

Задание 1. Вычислить криволинейный интеграл

Первого рода от функции f( x,y,z ) по длине

дуги пространственной кривой L :

4.7 f( x,y,z) = x + y + z ; L : x = cos t , y = sin t , z = t ,

0 t

4.8 f( x,y,z) = x + y ; L : x = t , y = t , z = ,

0 t

4.9 f( x,y,z) = z ; L : x = t cos t , y = t sin t , z = t ,

0 t t

4.10 f( x,y,z) = z ; L : x = t , y = , z = ,

от точки 0 ( 0,0,0) до точки B( , , )

4.11 f( x,y,z) = x + z ; L : x = t , y = , z = t ,

0 t 1

4.12 f( x,y,z) = ; L : x = a cos t , y = a sin t ,

z = bt , 0 t 2

4.13 f( x,y,z) = z - ; L : x = a cos t , y = a sin t ,

z = bt , 0 t 2

4.14 f( x,y,z) = ; L : x = t , y = , z = ,

0 t 1

4.15 f( x,y,x) = ax ; L : x = a cos t , y = a sin t ,

z = , 0 t 2

4.16 f( x,y,z) = x + y + z ; L : x = cos t , y = sin t , z = t

0 t 2

Задание 2. Используя формулу Грина вычислить

Следующие интегралы ( L – пробегаемый в

Положительном направлении контур ) .

2.1 L : x + y = ax

1.6 ;

L : x + y = R

2.3 ; L : ( x – 1 ) + ( y - 1 ) = 1

2.4 ; L : + = 1

2.5 L : замкнутый

контур , составленный из линии y = sin x , y = 0 ,

0 x

2.6 ;

L : x + y = ax

2.7 ; L:x + y = R

2.8 ; L : x + y = R

y = 0 , y 0

a. ;

L : + = 1

b. ;

L : x = a cos t , y = b sin t

Задание 3 . Найти работу , производимую силой

= P( x,y ) + Q( x,y) вдоль указанного

пути L :

3.1 = { x , xy } ; L : отрезок прямой от точки

A( 0;1) до точки B( 1;2)

3.2 = { x + y , x + y } ; L : ломанная ABC , где

A( 1;1) , B( 3;1) , C( 3;5)

3.3 = { x , } ; L : дуга xy = 1 , от точки

A( 1;1) до точки B(4; )

3.4 = { y, x } ; L : дуга астроиды x = a cos t ,

y = asin t от точки M ( t ) до

точки M ( t ) , где t = 0 , t =

3.5 = { x –y , 2x + y } ; L : треугольник с вершинами

A( 1;1) , B(3;3), C( 3;-1)

3.6 = { x , x } ; L : дуга y = x от точки

A ( 1;1) до точки B( 3;9)

3.7 = { cos x , y} ; L : дуга y = sin x , 0 x

3.8 = { cos x , } ; L : дуга y = tg x , x

3.9 = { x + y , y – x }; L : эллипс 5x - 6xy + 5y = 6

3.10 = { - x, -y } ; L : эллипс x = a cos t , y = b sin t

0 t 2

Задание 4 . Вычислить криволинейные интегралы от

Полных дифференциалов .

4.1

4.2

2.7

4.4

4.5

4.6 dx + 2x yz dy + 3x y z dz

4.7

4.8

4.9

4.10 вдоль путей не проходящих через начало координат .

Расчетное задание 3

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Комплект 1.

Задание 1. Вычислить поверхностные интегралы

Первого рода по

указанным поверхностям :

1.1 П : плоскость x + 2y +3z = 6 , лежащая в октанте f(x ,y ,z) = 6x + 4y + 3z

1.2 П : y = , отсеченная плоскостями x = 0 ,

x = a ; f(x ,y, z) = x + 3y + z + 5

1.3 П : часть плоскости x + y + z =a , лежащая в октанте f(x,y,z) = 1

1.4 П : z = ,отсеченная плоскостями y = 0 , y = 5 f(x,y,z) =

1.5 П : часть плоскости 6x + 4y + 3z = 12 , лежащая в

октанте , f(x,y,z) = z + 2x +

1.6 П : z = , отсеченная плоскостью z =3 ;

f(x,y,z) = xyz

1.7 П : часть плоскости x + y + z =1 , лежащая в

октанте , f(x,y,z) = 2x + y -

1.8 П: граница тела z 1; f(x,y,z) =x + y

1.9 П : часть плоскости + + = 1 , лежащая в октанте f(x,y,z) = x + y + z

1.10П : часть плоскости 6x + 4y + 3z = 12 , лежащая в

октанте f(x,y,z) = z + 2x +

Задание 2. Вычислить поверхностные интегралы

Второго рода

2.1 по верхней стороне

части плоскости 2x + 3y + z = 6 лежащей в октанте

2.2 по положительной

стороне куба , составленного плоскостями x = 0 ,

y = 0 , z = 0 , x =1, y =1 , z =1

1.7 по внешней стороне

поверхности , составленной плоскостями x = 0 , y =0

z = 0 , x + y + z = 1

1.8 по внешней

поверхности , расположенной в октанте и

составленной из плоскостей x = 0 , y =0 , z =0 , z = h

и цилиндра x + y =R

1.9 по верхней стороне части

поверхности z = , отсеченной плоскостями

y = 0 , y =2

1.10 по положительной

стороне куба , составленного плоскостями x = 0 ,

y = 0 , z = 0 , x =1, y =1 , z =1

1.11 по внутренней стороне

части поверхности x = 4y , отсеченной

плоскостями y = 4 , z = 0 , z = 3

1.12 по положительной

стороне куба , образованного плоскостями x =0 ,

y = 0 , z = 0 , x =3 , y = 3 , z = 3

1.13 по верхней стороне части плоскости

x + y + z = a , лежащей в октанте

4.7 по верхней стороне

треугольника , образованного пересечением

плоскости x + y + z =1 c координатными

плоскостями

Задание 3 . Найти площадь поверхности

3.1 Конусa z = 2xy , расположенного в октанте между

плоскостями x = 2 , y =4

3.2 Конической поверхности z = ,

расположенной в октанте и ограниченной

плоскостями x = 0 , y =0 , x + y =2

3.3 Сферы x + y + z = R , расположенной внутри

цилиндра x + y = Rx

3.4 Цилиндра x + y = Rx , расположенного внутри

сферы x + y + z = R

2.7 2x + 2y + z = 8a , заключенной между плоскостями

y + z =0 , z = 0

2.8 Цилиндра x + y = R между плоскостями z = 0 ,

y + z = 0

2.9 Цилиндра z + y = R , заключенного внутри цилиндра x + y = R

2.10 Параболоида x + y = 6z , заключенного внутри цилиндра x + y = 27

3.9 Сферы x + y + z = 3a , заключенной внутри

параболоида x + y = 2az

3.10 Части поверхности z = 2 – ,

расположенной над плоскостью XOY

Комплект 2.

Задание 1. Вычислить поверхностные интегралы

Первого рода по

Указанным поверхностям

1.1 П : полусфера z = ; f(x,y,z) = x

1.2 П : поверхность параболоида вращения

z = (x + y ) , ограниченная плоскостями z =0 ,

z = 2 ; f(x,y,z) = x + y

1.3 П : коническая поверхность z = x + y ,

ограниченная плоскостями z = 0 , z = 1 ,

f(x,y,z) = x + y

1.6 П : поверхность параболоида вращения

z = 1- x - y , ограниченная плоскостями z =0 ,

z =1 ; f(x,y,z) =

1.7 П : часть поверхности конуса x + y = z ,

0 z 1 ; f(x,y,z)=

1.8 П : часть поверхности z = , отсеченная плоскостями z = 0 , z =1 ; f(x,y,z) = 3x + 3y + 5z

1.9 П : часть плоскости x + y + z = 4 , вырезанная

цилиндром x + z = 4 ; f(x,y,z) = x + y + 2x z + z

1.10 П : полусфера z = ;

f(x,y,z) = x + y + z

1.11 П : часть поверхности y = , отсеченная плоскостями x = 0 , x = a ; f(x,y,z) = y(x + z)

1.12 П : полусфера z = ; f(x,y,z) = x

Задание 2 . Вычислить поверхностные

Интегралы второго рода .

1.6 по нижней стороне круга

x + y R

1.7 по нижней стороне части конуса x + y = z , 0 z 1

1.8 по нижней стороне круга

x + y = R

1.9 по верхней стороне цилиндрической поверхности z = 1 - x , 0 y 1

1.10 по внешней стороне части поверхности y = отсеченной плоскостями y =0 , y =1

1.11 по верхней стороне

z = 1 - - , отсеченной плоскостью z = 0

1.12 по внешней стороне

x = , отсеченной плоскостями z = 0 , z = 2

1.13 по внешней части параболоида

x = a - y - z , отсеченной плоскостью YOZ

2.9 по внутренней стороне

части поверхности x = , отсеченной

плоскостями x = 0 , x = a

2.10 по внешней стороне части

нижней половины эллипсоида

Задание 3 . Найти массу поверхности по указанной

плотности

1. z = , отсеченной плоскостями z = 0 , z =1

2. z = , отсеченной плоскостями y = 0 , y = 2 ;

3. 2z = 2 - x - y , отсеченной плоскостью XOY ;

4. y = , вырезанный цилиндром

x + y = 2x ;

5. x = , отсеченной плоскостями x = 0 ,

x = 2 ;

6. x + y + z = a ( a > 0 ) , вырезанный цилиндром

x + y = R ,

3.7 y = ,

3.8 x = ,

3.9 2az = x - y , вырезанную цилиндром x + y = a ;

, k > 0

3.10 0 x 1 ; 0 y 1 ; 0 z 1 ;

Комплект 3.

Задание 1 . Вычислить поверхностные интегралы

Первого рода по

Указанным поверхностям

1.1 П : часть поверхности 2z = , отсеченная

плоскостью z = 0 ; f(x,y,z) = x + y + z – 2

1.2 П : часть поверхности x + z = 2az , вырезанная

z = ; f(x,y,z) = z

1.3 П : поверхность сферы x + y = 9 - z ,

f(x,y,z) = x + y + z

1.4 П : часть конической поверхности z = ,

вырезанная x + y = 2ax ; f(x,y,z) = xy + yz + zx

1.5 П : сфера x + y + z = 1 ; f(x,y,z) = x + y + z

1.6 П : часть конической поверхности z = ,

вырезанная цилиндром x + y = 8x ;

f(x,y,z) = xy + yz + zx

1.7 П : часть сферы x + y + z = a , лежащая в

октанте ; f(x,y,z) = x + y + z

1.8 П : поверхность , отсекаемая от верхней части конуса

z = цилиндром x + y = 4x ;

f(x,y,z) = zy + xy + xz

1.9 П : полусфера z = ;

f(x,y,z) =

1.10 П : поверхность , отсекаемая от верхней части

конуса z = k цилиндром x + y - 2ax = 0

f(x,y,z) = y z + z x + x y

Задание 2. Вычислить поверхностные интегралы

второго рода :

2.1 , по внешней стороне полусферы

x + y + z = R , z = 0

2.2 , по внешней стороне сферы

x + y + z = a

2.3 , по внешней стороне части поверхности

параболоида z = , x 0 , y 0 , z H

2.4 dydz , по внутренней стороне

части полусферы x = , вырезанной

конусом x =

2.5 , по

нижней стороне части поверхности z =

13