Найти массу пластинки D c плотностью
6.1. D: 
, 
, 
,
, ( 
).
6.2. D: , , 
,
, ( ).
6.3. D: 
, , 
,
, ( ).
6.4. D: , , 
,
, ( ).
6.5. D: 
, , 
,
, ( ).
6.6. D: , , ,
, ( ).
6.7. D: 
, , 
,
, ( ).
6.8. D: , , ,
, ( ).
6.9. D: , , ,
, ( ).
6.10. D: , , ,
, ( ).
Задание 7.
Вычислите тройной интеграл от функции f (x; y; z) по телу Т, ограниченному заданными поверхностями.
7.1. 
; T: 
, , 
, 
.
7.2. 
; T: , , , .
7.3. 
; T: , , , 
, 
, .
7.4. ; T: , 
, 
, , 
, .
7.5. 
; T: , , , 
.
7.6. 
; T: 
, , , .
7.7. 
; T: , 
, , , .
7.8. 
; T: 
, 
, , .
7.9. ; T: 
, , , .
7.10. ; T: 
, , .
Задание 8.
Вычислить объём тела, ограниченного указанными поверхностями, с помощью тройного интеграла.
8.1. 
, 
, .
8.2. 
, 
, 
( 
).
8.3. 
, 
, .
8.4. 
, 
, .
8.5. 
, 
, ( 
).
8.6. 
, 
, ( ).
8.7. 
, 
, .
8.8. 
, 
, .
8.9. 
, , .
8.10. 
, , .
Задание 9.
Найти моменты инерции относительно координатных плоскостей однородного тела Т с плотностью р = 1, ограниченного поверхностями:
9.1. 
, 
, 
, .
9.2. 
, , , ( 
).
9.3. 
, , 
.
9.4. 
, 
.
9.5. 
, , , .
9.6. 
.
9.7. 
, 
, .
9.8. , 
.
9.9. 
, .
9.10. 
.
Комплект 3.
Задание 1.
Сведите двойной интеграл 
по области G к повторному двумя способами, если:
1. G – треугольник с вершинами (1; 1), (4; 1), (4; 4).
2. G – треугольник с вершинами (2; 1), (5; 2), (3; 7).
3. G – область, ограниченная кривыми 
; 
.
4. G – треугольник со сторонами, лежащими на прямых 
5. G – трапеция с вершинами (-1; 4), (5; 4), (1; 1), (4; 1).
6. G – трапеция с вершинами (-2; 0), (0; 6), (0; 3), (-1; 0).
7. G – трапеция с вершинами (-2; 3), (0; 6), (3; -3), (0; -3).
8. G – кольцо 
.
9. G – область, ограниченная кривыми 
и 
.
10. G – круг 
.
Задание 2.
Вычислить двойной интеграл от функции z = f (x; y) по области D.
2.1. 
, D: , 
, 
.
2.2. 
, D: 
, 
, , 
.
2.3. 
, D: 
, .
2.4. 
, D: 
, 
, , .
2.5. 
, D: , , .
2.6. 
, D: , , , .
2.7. 
, D: , 
.
2.8. 
, D: , 
, 
.
2.9. 
, D: , , .
2.10. 
, D: 
, 
, , .
Задание 3.
Вычислите двойные интегралы, перейдя к криволинейным координатам:
3.1. 
; G: 
произвести замену переменных: 
.
3.2. 
; G: 
произвести замену переменных: 
.
3.3. 
; G: 
произвести замену переменных: 
.
3.4. 
; ввести переменные: 
.
3.5. 
; G: 
произвести замену переменных: 
.
3.6. 
; G: 
произвести замену переменных: 
.
3.7. 
; G: 
произвести замену переменных: 
.
3.8. 
; G: 
произвести замену переменных: .
3.9. 
; G: 
произвести замену переменных: 
.
3.10. 
; G: 
выбрать надлежащую замену переменных.
Задание 4.
4.1. Найти площадь той части плоскости 
, которая заключена в первом октанте.
4.2. Найти площадь части плоскости 
, заключённой между координатными плоскостями.
4.3. Найти площадь части плоскости 
, вырезаемой цилиндром 
и плоскостями 
.
4.4. Найти полную поверхность тела, ограниченного цилиндрами 
и плоскостью 
.
4.5. Найти площадь части поверхности конуса 
, вырезаемой плоскостями 
.
4.6. Найти площадь части поверхности цилиндра 
, вырезаемой цилиндром 
.
4.7. Найти площадь части сферы 
, заключённой внутри конуса 
.
4.8. Найти площадь части параболоида 
, заключённой между параболоидами 
и 
.
4.9. Найти площадь части сферы , расположенной между плоскостями 
и 
.
4.10. Найти площадь части сферы 
, вырезанной цилиндром 
.
Задание 5.
Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, ограниченной кривыми:
5.1. 
.
5.2. 
.
5.3. 
.
5.4. 
.
5.5. 
.
5.6. 
.
5.7. 
.
5.8. 
.
5.9. 
.
5.10. 
.
Задание 6.
Вычислить тройной интеграл 
по телу Т в цилиндрических координатах:
6.1. 
, T: 
.
6.2. , T: 
.
6.3. 
, T: 
.
6.4. 
, T: 
.
6.5. , T: 
.
6.6. , T: 
.
6.7. 
, T: 
.
6.8. , T: 
.
6.9. 
, T: 
.
6.10. 
, T: 
.
Задание 7.
Вычислить объём тела, ограниченного указанными поверхностями, с помощью тройного интеграла.
7.1. 
.
7.2. 
.
7.3. 
.
7.4. 
.
7.5. 
.
7.6. 
.
7.7. 
.
7.8. 
.
7.9. 
.
7.10. 
.
Задание 8.
Найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями:
8.1. 
8.2. 
8.3. 
8.4. 
8.5. 
8.6. 
8.7. 
8.8. 
8.9. 
8.10. 
Задание 9.
9.1. Пластинка лежит в плоскости XY, занимая область D, ограниченную кривыми 
, 
, 
. На пластинке распределен электрический заряд с поверхностной плотностью 
. Найти полный заряд пластинки.
9.2. Пластинка лежит в плоскости XY, занимая область D, ограниченную следующими линиями: 
, , 
. На пластинке распределен электрический заряд с поверхностной плотностью 
. Вычислить полный заряд пластинки.
9.3. Пластинка лежит в плоскости XY, занимая область D, ограниченную кривыми , 
, 
, 
. Удельная теплоемкость пластинки меняется по закону 
. Найти количество тепла, получаемое при её нагревании от температуры 
до температуры 
.
9.4. С какой силой плоский диск радиусом R и массой M притягивает материальную точку массой m, которая лежит на прямой, перпендикулярной диску и проходящей через его центр, на расстоянии a от центра.
9.5. Пластинка в форме треугольника погружена вертикально в воду так, что ее основание лежит на поверхности воды. Основание пластинки а, высота h. Вычислить силу давления воды на каждую из сторон пластинки.
9.6. Прямой круговой цилиндр погружен в наполненный жидкостью сосуд так, что его середина – точка М – находится на глубине с под поверхностью жидкости, а ось цилиндра составляет с вертикалью угол 
. Длина цилиндра равна l, радиус основания а. Вычислить давление на нижнее и верхнее основания цилиндра, если плотность жидкости равна 
.
9.7. Пластинка, имеющая форму полукруга радиусом а, погружена вертикально в жидкость так, что горизонтальный диаметр AB, служащий ее основанием, находится внутри жидкости, а вершина О полукруга соприкасается с поверхностью жидкости. Вычислить давление на пластинку, если плотность жидкости равна .
9.8. Определить силу давления воды на боковую стенку 
цилиндрического сосуда 
, 
, если уровень воды 
.
9.9. Найти силу, с которой однородный цилиндр плотностью 
притягивается к центру своего основания, если радиус основания цилиндра равен R и высота равна Н.
9.10. Найти силу, с которой однородный конус плотностью притягивается его вершиной, если радиус основания конуса равен R, а длина образующей равна l.
Расчетное задание 2
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Комплект 1
Задание 1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода от функции f (x , y) по длине дуги L
уравнениям y = 
(х) , a 
x b
1.1 f (x , y)= x 
; L : y=ln x ; 1 x 2
1.2 f (x , y) = y ; L : y = 2x от точки А(0;0) до точки В(2; 2)
1. 3 f (x , y) = 
; L : отрезок прямой соединяющий точки A ( 0;-2) и B (4;0)
1.4 f (x , y) = x + y ; L : граница треугольника с вершинами A(1;0) , B(0;1)
1.5 f (x , y) = 
; L : -отрезок прямой соединяющий точки О (0;0) и A(1;2)
1.6 f (x , y) = x+2y ; L : отрезок прямой от точки A(1;1) до точки B(5;3)
1.7 f (x , y) = 
; L : y = 
- от точки A(0;0) до точки B(1;0,6)
1.8 f (x , y) = 
; L : отрезок прямой соединяющий точки A(-1;0) и B (2;0)
1.9 f (x, y) = 2x-y ; L : отрезок прямой соединяющий точки A(2;2) и B(1;-3)
1.10 f (x, y) = 
x ; L : y = x , 0 x 4
Задание 2. Вычислить криволинейные интегралы первого рода от функции f( x,y,z) по длине дуги L , заданной параметрическими уравнениями .
2.1 
; L : первый виток винтовой линии
x = 2cos t , y = 2sin t , z = t
2.2 
; L : первая арка циклоиды
x = a(t – t sin t) , y = a(1 – cos t)
2.3 
; L – первый виток винтовой линии
x = a cos t , y = a sin t , z = bt
2.4 
; L : x = a(cos t + t sin t) , y = a(sin t – t cos t) 0 t 25
2.5 
; L : часть винтовой линии
x = a cos t , y = a sin t , z = bt , 0 t 2 
2.6 
; L : коническая винтовая линия
x = t cos t , y = t sin t, z = t , 0 t 2
2.7 
; L : арка циклоиды
x = a(1-sin t) , y = a(1-cos t) , 0 t 2
2.8 
; L : x = a ch t , y = a sh t , 0 t 
2.9 
; L : x = a cos t , y = b sin t
2.10 
L : дуга кривой x = t cos t , y = t sin t , z = t , 0 t 2
Задание 3 . Вычислить криволинейные интегралы второго рода 
, P ,Q и L заданы ниже :
3.1 P= xy , Q = y –x ; L : дуга y= x от точки
A(-1;1) до точки B(-2;4)
3.2 P = x + y , Q = 2xy ; L : дуга y = x 
от точки
A(1;1) до точки B(2;8)
3.3 P = x - 2xy , Q = 2xy + y ; L : дуги y = x от точки
A(1;1) до точки B(2;4)
3.4 P = 2y ; Q = 3x – y ; L : дуга y = 
от точки
A(1;1) до точки B(4;2)
3.5 P = x - y ; Q = y - x ; L : отрезок прямой от
точки A(0;0) до точки B(3;4)
3.6 P = 3x y + 1 ; Q = x + 2 ; L : дуга y = 2 от точки
A(0;0) до точки B(1;2)
3.7 P = y + x ; Q = 
; L : дуга y = e 
от точки
A(0;1) до точки B(1; e)
3.8 P = 
; Q = x ; L : дуга y = ln x от точки
A(1;0) до точки B( e ; 1)
3.9 P = y - x ; Q = x y ; L : отрезок прямой от
точки A(1;2) до точки B(3;4)
3.10 P = y cos x , Q = x sin y ; L : отрезок прямой от точки A(0;0) до точки B( 
; )
Задание 4. Используя формулу Грина вычислить