Понятие о предельных теоремах
Кратко рассмотрим предельные теоремы, которые уста-
навливают связь между теоретическими и эксперименталь-
ными характеристиками случайных величин при большом ко-
личестве опытов. Предельные теоремы подразделяют на две
группы:
1) группа закона больших чисел;
2) группа центральной предельной теоремы.
Кратко рассмотрим группу закона больших чисел. Его фи-
зическое содержание можно сформулировать следующим об-
разом: __________при большом числе случайных явлений их средний ре-
зультат практически перестает быть случайным и может быть
предсказан с большой степенью определенности.
В узком смысле слова под законом больших чисел понима-
ется ряд теорем, в каждой из которых для тех или иных условий
устанавливается факт приближений средних характеристик
большого числа экспериментов к определенным неслучайным
величинам.
Все теоремы закона больших чисел опираются на нера-
венство Чебышева, которое мы и проводим.
Неравенство Чебышева.Если случайная величина X имеет
математическое ожидание M[X] и дисперсию D[X], то для ∀ε > 0
справедливо неравенство:
. (2.80)
Неравенство (2.80) отграничивает вероятности больших
отношений случайной величины X от ее математического ожи-
дания.
Для противоположного события неравенство Чебышева
принимает вид:
. (2.81)
Неравенства (2.80) и (2.81) можно использовать для нахож-
дения оценок вероятности отклонения наблюдаемой случайной
величины от своего математического ожидания, если неизвес-
тен закон распределения.
Пример 2.6
Определить вероятность того, что случайная величина X,
имеющая произвольный закон распределения, отклонится от
своего математического ожидания на величину, не выходящую
за пределы ±3σ[X].
Принимая в формуле (2.81) ε = 3σ[X] получаем
.
Для любой случайной величины Х вероятность выполне-
ния правила 3σ[X] будет не ниже 8/9.
Если случайная величина Х распределена по нормальному
закону, то вероятность попадания случайной величины в ин-
тервал |X − M[X]| ≤ 3σ[X] будет равна 0,997.
Теорема Чебышева (иногда ее называют законом больших
чисел).
Предположим, что производится n независимых измере-
ний случайной величины Х, которая имеет конечные матема-
тическое ожидание М[X] и дисперсию D[X]. Измерения равно-
точны и не имеют систематических ошибок. В этом случае при
неограниченном увеличении количества измерений n среднее
арифметическое результатов измерений xi сходится по веро-
ятности к математическому ожиданию этой случайной величи-
ны, т. е.
, (2.82)
где ε > 0.
Из формулы (2.82) следует, что при достаточно большом ко-
личестве наблюдений n существенные отклонения по абсолют-
ной величине среднего арифметического результатов измере-
ний от математического ожидания маловероятны. Поэтому при
большом количестве наблюдений можно заменять неизвестное
математическое ожидание средним арифметическим.
Теорема Бернулли. Это теорема доказывает устойчивость
относительной частоты случайного события, а это позволяет
применять на практике статистическое определение вероят-
ности наступления события.
При неограниченном возрастании числа независимых опы-
тов n, производимых в одних и тех же условиях, относительная
частота события А (f(A)) сходится по вероятности к вероятнос-
ти этого события P(A), т. е.
, (2.83)
где ε > 0.
Из теоремы Бернулли следует, что при большом количес-
тве наблюдений относительную частоту появления случайного
события можно принимать за вероятность этого события.
Теперь кратко рассмотрим группу теорем центральной
предельной теоремы. Она имеет ряд форм, которые устанавли-
вают связь между законом распределения суммы случайных
величин и ее предельной формой — нормальным законом рас-
пределения.
Различные формы центральной предельной теоремы раз-
личаются между собой условиями, накладываемыми на распре-
деления образующих сумму случайных слагаемых X1, X2, ..., Xn.
Чем эти условия жестче, тем проще доказывается теорема.
Теорема. Если X1, X2, ..., Xn — независимые случайные ве-
личины, которые имеют одно и то же распределение с мате-
матическим ожиданием M[X] и дисперсией D[X], то при увели-
чении n закон распределения суммы случайных величин
неограниченно приближается к нормальному.
Теорема Ляпунова. Предположим, что X1, X2, ..., Xn — не-
зависимые случайные величины с математическими ожидани-
ями M[X1], M[X2],…, M[Xn] и дисперсиями D[X1], D[X2],…, D[Xn],
причем n → ∞.
. (2.84)
Ляпунов доказал, что при n → ∞ закон распределения слу-
чайной величины неограниченно приближается к нор-
мальному.
Смысл условия (2.84) состоит в том, чтобы в сумме не было
слагаемых, влияние которых на рассеивание суммы было бы
велико по сравнению с влиянием всех остальных. Также не
должно быть большого числа случайных слагаемых, влияние
которых на рассеивание суммы очень мало по сравнению с сум-
марным влиянием остальных.
Вопросы для самопроверки
1. Каков предмет теории вероятностей?
2. Дайте определение суммы и произведения нескольких
случайных событий.
3. Приведите классическое определение вероятности.
4. Приведите статистическое определение вероятности.
5. Приведите аксиоматическое определение вероятности.
6. Каковы правила действия с вероятностями?
7. Дайте определения случайной величины.
8. Что такое функция распределения случайной величины?
9. Что такое плотность распределения случайной вели-
чины?
10. Расскажите о числовых характеристиках случайной
величины.
11. От каких параметров зависит нормальное распреде-
ление?
12. Дайте определение системы случайной величины.
13. Какие формы закона распределения случайных вели-
чин вы знаете?
14. Какие числовые характеристики системы случайных
величин вы знаете?
15. В чем состоит суть закона больших чисел?
16. В чем состоит суть центральной предельной теоремы?
Глава 3
СТАТИСТИЧЕСКОЕ НАБЛЮДЕНИЕ