Кроме того, пользуясь оценкой вместо самого параметра
d, желательно не делать систематической ошибки, т. е. матема-
Тическое ожидание оценки должно быть равным самому пара-
метру:
. (6.2)
Оценка, которая обладает данным свойством, называется
Несмещенной.
Было бы хорошо, если бы выбранная несмещенная оценка
Была как можно менее случайной, т. е. обладала по сравнению
с другими минимальной дисперсией:
. (6.3)
Оценка, которая обладает данным свойством, называется
Эффективной.
В реальных условиях не всегда удается удовлетворить
Всем перечисленным требованиям. Тем не менее при выборе
Оценки любого параметра желательно эту оценку рассмотреть
Со всех перечисленных точек зрения.
Вернемся к средним величинам. При их вычислении при
Большом количестве наблюдений случайности взаимопога-
Шаются (это следует из закона больших чисел), следователь-
Но, можно абстрагироваться от несущественных особенностей
Изучаемого явления и от количественных значений признака в
Каждом конкретном опыте.
Крупный вклад в обоснование и развитие теории средних
Величин внес А. Кетле. Согласно его учению массовые процес-
Сы формируются под влиянием двух групп причин. К первой
Группе общих для всех единиц массовой совокупности причин
Относятся те из них, которые определяют состояние массового
Процесса. Они формируют типичный уровень для единиц дан-
Ной однородной совокупности.
Вторая группа причин формирует специфические особен-
Ности отдельных единиц массовой совокупности и, следова-
Тельно, их разброс от типичного уровня.
Эти причины не связаны с природой изучаемого явления,
Поэтому их называют случайными причинами.
Средняя величина, полученная по всей совокупности, на-
Зывается общей, а средние величины, вычисленные по каждой
Группе, называются групповыми средними. Есть два вида сред-
них величин: степенные средние (средняя арифметическая и
Др.), структурные средние (мода, медиана).
Рассмотрим степенные средние. Степенные средние опре-
Деляются исходя из формулы
, (6.4)
Где — среднее значение;
xi — текущее значение изучаемого признака;
m — показатель степени средней;
n — количество признаков (вариант).
В зависимости от показателя m степени средней получаем
следующие виды степенных средних:
− среднюю гармоническую , если m = -1;
− среднюю геометрическую , если m = 0;
− среднюю арифметическую , если m = 1;
− среднюю квадратическую , если m = 2;
− среднюю кубическую , если m = 3,
− и т. д.
При использовании одних и тех же данных чем больше m
в формуле (6.4), тем больше значение средней, т. е. ≤ ≤
≤ ≤ ≤ .
Приведем конкретные формулы для вычисления некото-
Рых видов степенных средних.
При m = -1 получаем среднюю гармоническую:
. (6.5)
В том случае, если исходные данные сгруппированы, ис-
Пользуются взвешенные средние. В качестве веса может ис-
пользоваться частота μ (количество опытов, в которых появи-
Лось интересующее нас событие) или относительная частота
.
Запишем формулы для взвешенной средней гармонической:
; (6.6)
. (6.7)
При m = 0 получаем среднюю геометрическую:
. (6.8)
Т. е. получили неопределенность.
Для ее раскрытия прологарифмируем обе части форму-
Лы (6.4.)
,
затем подставляем m = 0 и получаем
, (6.9)
Т. е. имеем неопределенность вида . Для раскрытия этой неоп-
Ределенности применяем правило Лопиталя. Полученный ре-
Зультат потенцируется, и окончательно получаем
. (6.10)
Широкое применение средняя геометрическая получила
Для нахождения средних темпов изменения в рядах динамики
И в рядах распределения.
Запишем формулы для взвешенной средней геометричес-
Кой.
; (6.11)
. (6.12)
Приведем конкретный пример нахождения средней гео-
Метрической взвешенной по формуле (6.11).
Пример 6.1
Исходные данные наблюдений приведены в табл. 6.1.
Таблица 6.1
xi 2 3 4 5
μi 5 4 7 8
fi 0,21 0,17 0,29 0,33
В табл. 6.1 xi — результаты, принятые некоторой случайной
величиной X в i-м опыте; μi — частота события — показывает,