Арифметические операции над функциями, имеющими конечный предел
Теорема. Если функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы 
=А, 
=В, то:
1. 
=А ± В (предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов);
2. 
=А×В (предел произведения равен произведению пределов);
3. 
, при условии, что В¹0 (предел частного равен частному пределов).
gИз теоремы о связи функции, имеющей конечный предел с б.м.ф., следует:
=А Û f(x)=A+ a(x), где a(x)®0 при х®а,
=В Û g(x)=B+ b(x), где b(x)®0 при х®а.
тогда f(x)± g(x) = (A ± B) + (a(x) ± b(x)) = (A ± B) +g(x), где g(x)®0 при х®а. значит, справедливо первое равенство.
Для произведения f(x)×g(x)=(A+a(x))×(B+b(x))= A×B+g(x), где g(x)=(A×b(x)+B×a(x)+a(x)×b(x))®0 при х®а по свойствам б.м.ф. Соответственно, справедливо второе равенство.
Докажем, что разность 
®0 при х®а:
= 
= 
= 
.
по свойствам б.м.ф.: 
®0 при х®а. Если докажем ограниченность величины 
при х®а, то их произведение является б.м.ф. и справедливо третье равенство.
Из условия 
=0 следует, что для e= 
существует d>0, такое, что "хÎ 
выполняется неравенство ½b(х)½< 
. Тогда ½В+b(х)½³½В½-½b(х)½>½B½- 
= , поэтому
= 
< 
= 
"хÎ 
.n
Следствия:
1) предел алгебраической суммы любого конечного числа функций равен сумме пределов этих функций;
2) предел произведения n функций, имеющих конечный предел, равен произведению их пределов;
3) постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Рассмотрим предельный переход под знаком сложной функции:
X 
Y, Y 
Z.
Теорема (о пределе сложной функции). Если существуют (конечные или бесконечные пределы): =b, 
=c,
тогда при х®а существует предел (конечный или бесконечный) сложной функции g(f(x)), причем: 
= .