Свойства функций, непрерывных на отрезке. Равномерная непрерывность функции

Функция f(x) называется непрерывной на [a,b], если она непрерывна в каждой точке интервала (a,b), а также является непрерывной справа в точке a и непрерывной слева в точке b.

Теорема 1 (Вейерштрасс: об ограниченности непрерывной на отрезке функции). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на нем.

gТребуется установить, что ($c>0): ("xÎ[a,b]®½f(x)½£c). (1)

Предположим противное, т.е. ("c>0) ($x_cÎ[a,b]) : ½f(x_c)½>c. (2)

Полагая в соотношении (2) c=1,2, …, n, … получим, что ("nÎN) ($x_nÎ[a,b]) : ½f(x_n)½>n. (3)

Из условия ("nÎN)®a£x_n£b имеем, что последовательность {x_n} ограничена. По теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность: ${ }: =x. (4)

В силу условия (3): ("kÎN) ® a£ £b. (5)

Тогда из условий (4) и (5) по теореме о предельном переходе в неравенстве получаем xÎ[a,b]. функция f непрерывна, поэтому из условия (4) имеем: . (6)

С другой стороны, утверждение (3) выполняется ("nÎN): в частности, при n=n_k (k=1,2,…), т.е. . Последнее означает: =+¥, так как при k®¥ также n®¥. Это противоречит условию (6), согласно которому последовательность значений функции имеет конечный предел. Условие (2) не выполнимо и справедливо утверждение (1).n

Теорема 2(Вейерштрасс: о достижении точных граней непрерывной на отрезке функции). Если функция f(x) непрерывна на [a,b], то она достигает на нем своих точных граней, т.е.:

($ x, hÎ[a,b]) : ( f(x)= Ù f(h)= ). (7)

gПо теореме 1 функция f(x) ограничена, а у всякого ограниченного множества E(f) существуют точные грани: =M, =m. Проведем доказательство для ТВГ:

M= Û 1) , (8) . (9)

Полагая e = 1, , , …, .., в силу условия (9), получим последовательность {x_n}: ("nÎN) ® (x_nÎ[a,b] Ù f(x_n) > M - ). (10)

Из условий (8), (10) заключаем: ("nÎN)®(M - < f(x_n) £ M). Это означает, что для сколь угодно больших номеров n значения последовательности {f(x_n)} мало отличается от М, т.е.: . (11). Аналогично способу доказательства предыдущей теоремы из ограниченной последовательности {x_n} можно выделить сходящуюся подпоследовательность: =xÎ[a,b]. В силу непрерывности функции f(x) в точке x, имеем: . (12)

с другой стороны, – подпоследовательность сходящейся, согласно равенству (11), последовательности: ®M. Поэтому =М. Учитывая единственность предела, из равенства (12) заключаем: f(x)=М= . n

Теорема 3 (Больцано-Коши: о промежуточных значениях). Если функция f(x) непрерывна на [a,b] и f(a)=A, f(b)=B, то ("CÎ[A,B]) ($xÎ[a,b]) : f(x)=C.

gУбедимся, что непрерывная на отрезке функция, принимая какие-либо два значения, также принимает и любое, лежащее между ними, значение.

Пусть для определенности f(a)=A<B=f(b) и A<C<B. Разделим [a,b] точкой х₀ пополам. Тогда может быть:

1) f(x₀)=C, т.е. искомая точка x=х₀ найдена;

2) f(x₀)¹C, тогда на концах одного из отрезков функция принимает значения, лежащие по разные стороны от числа С (на левом – меньше С, на правом – больше С).

Обозначим такой отрезок [a₁,b₁] и снова поделим его пополам, продолжая указанный процесс. В результате: либо через конечное число шагов придем к искомой точке x (f(x)=C); либо получим последовательность вложенных отрезков [a_n,b_n] по длине стремящихся к нулю, для которых выполнено неравенство: f(a_n) < C <f(b_n). (13)

По теореме о вложенных отрезках существует общая точка x всех [a_n,b_n]: a_n< x < b_n Ù b_n- a_n = ®0 при n®¥. В силу непрерывности функции f(x) и условий = =x имеем равенство:

= = f(x). (14)

Осуществим предельный переход в неравенстве (13): £С£ .

Учитывая соотношения (14), заключаем, что f(x)=C.n

Теорема 4 (Коши: о нулях непрерывной функции). Если непрерывная функция f(x) на концах [a,b] принимает значения различных знаков, то на [a,b] имеется хотя бы один нуль функции f(x).

Пусть функция f(x) непрерывна на D, т.е. она непрерывна в каждой точке :

. (15)

Непрерывность функции в точке - свойство локальное, так как оно связано с поведением функции в некоторой достаточно малой . Величина зависит как от , так и от выбора х₁. Покажем, что даже при фиксированном значения для разных точек не остаются постоянными.

Функция f(x) называется равномерно непрерывной на D, если: ("e>0)($d>0):("x₁ÎD)(" x₂ÎD): . (16)

Теперь число d зависит лишь от e. Свойство равномерной непрерывности (16) является глобальным (касается всего множества D). Неважно в каком месте берутся точки x_1, x₂ÎD, лишь бы расстояние между ними было меньше d: тогда сразу соответствующие значения функции отличаются по абсолютной величине меньше, чем на e.

Из условия (16) следует (15), поэтому если - равномерно непрерывная функция, то она является непрерывной на D (если удалось найти d пригодное для всех значений х, то для каждой точки эта величина также найдена).

Теорема (Кантор). Всякая функция, непрерывная на отрезке [a;b], является равномерно непрерывной на нем.