Обратная функция
Пусть задана числовая функция (
):
.
Обратная задача: по заданному значению функции у0 найти соответствующее значение аргумента – решить относительно x уравнение: ,
. (1)
Если функция f(x) такова, что каждое значение , она принимает только при одном значении
, то ее называют обратимой: (
)(
.
Для обратимой функции прямая (
) пересечет
в единственной точке
, где
. Таким образом можно построить функцию x=g(y), обратную данной. Если перейти к прежним обозначениям (x - аргумент), то функция y=g(x) обратная к данной. Взаимно-обратные функции обладают свойствами:
1) ,
;
2)
;
3) симметричен
относительно прямой y=x.
Теорема. Если функция у=f(x) непрерывна и строго возрастает (строго убывает) на [а;b], то на [А;В], где А= f(a), В= f(b) определена непрерывная строго возрастающая (строго убывающая) обратная функция x=g(y).
gПусть f(x) - строго возрастает: .
Множество значений непрерывной на отрезке [a,b] функции есть отрезок , поскольку
.
Из строгой монотонности имеем, что . Если бы уравнение
имело еще один корень
(к примеру,
), то
. Это противоречит условию:
. Следовательно, для f на [a,b] существует обратная функция x=g(y), для которой D(g)=[A;B], E(g)=[a;b].
Покажем, что g строго возрастает на [A;B]:
:
<
Þ х1 < х2. (2)
если бы было , то, в силу строгой монотонности функции f,
. При х1 = х2 имели бы
. Поэтому справедливо неравенство
, что доказывает монотонность обратной функции.
Докажем непрерывность обратной функции в любой точке . Известно, что этому значению соответствует единственная точка
или
. Пусть
(достаточно малое), чтобы
и
. Тогда из строгой монотонности следует, что
соответствующее значение
. Значит,
можно подобрать окрестность
точки y0, такую, что
. Это подтверждает непрерывность обратной функции в точке y0.
Для концевой точки считаем:
,
. Поэтому
.n