Сравнение бесконечно малых функций
Пусть a(х), b(х) - б.м.ф. при . Хотя
, все же характер приближения к 0 у них может быть различен.
Две б.б.ф. сравниваются по быстроте стремления к нулю через поведение их отношения при
, где
в окрестности а:
если =0 , то
есть б.м.ф. более высокого порядка;
если =
, то a(х), b(х) - одного порядка малости;
если =1, то a(х)~b(х) эквивалентные б.м.ф. при
;
если =¥, то b(х) есть б.м.ф. более высокого порядка;
если не существует, то a(х), b(х) не сравнимы.
Бесконечно малые функции a(x), b(x) называются эквивалентными при (пишут a(x)~b(x)), если
=1.
Эквивалентными при являются функции:
~x,
~x,
~x,
~x,
~
,
~
,
~ax,
~x,
~x.
При соотношения остаются в силе и при
(при этом следует заменить х на a(х)): lnx=ln(1+(x–1)~(x-1) при x®1.
Теорема 1 (о замене функций эквивалентными при вычислении пределов). Если при имеем две эквивалентные б.м.ф. a~a1, b~b1 и существует
, то также существует предел отношения
при
и
. (1)
Теорема 2 (признак эквивалентности б.м.ф). две б.м.ф. эквивалентны a(х)~b(x) при , тогда и только тогда, когда разность a(х)-b(х) при
является б.м.ф. более высокого порядка, чем a(х) и b(х).