Степенная, показательная и логарифмическая
Степенная функция с натуральным показателем непрерывна на R как произведение n непрерывных функций
. Если
, то степенная функция строго возрастает и поэтому обратима на всем множестве R (см. рис. 1.19):
Если
, то степенная функция с четным показателем
не обратима на всем множестве R (так как разным значениям х0 и -х0 соответствует одно значение функции: (х0)2k=(-х0)2k=y0).
Если рассмотреть функцию на положительной части области определения , то для нее существует обратная функция
, которая также является строго возрастающей
Рассмотрим степенную функцию с целым отрицательным показателем
. Она определена и непрерывна при
и по определению степени с целым показателем записывается в виде
Дадим определение степенной функции с рациональным показателем
:
Если , то положим
.
Функция непрерывна и строго возрастает при x>0. Функция
непрерывна при t>0 и строго возрастает, если m>0; строго убывает при m<0.
Поэтому, согласно теореме о непрерывности сложной функции, степенная функция хr непрерывна на (0;+¥) и возрастает при r>0, а убывает при r<0.
Лемма 1. Для функций имеет место
.
Пусть теперь x - произвольная точка числовой прямой и - последовательность рациональных чисел, сходящаяся к х:
. Предполагая a>0, положим по определению:
.
Функция ах (а>0), определенная для равенством
называется показательной с основанием a.
Свойства функции :
1. При a>1 функция строго возрастает, при 0<a<1 – строго убывает на всей числовой оси.
2. .
3. .
4. Функция непрерывная на R.
5. при .
6. множество значений функции при 0<a¹1- .
Используя теорему о существовании и непрерывности обратной функции, на промежутке определим функцию, обратную к показательной
. Эта функция называется логарифмической и обозначается
.
Показательная функция у=ах при возрастает, поэтому обратная функция
при a>1 также строго возрастает и непрерывна:
. При 0<a<1 функция
также непрерывна и строго убывает:
Пусть , то по свойствам взаимно-обратных функций справедливы равенства:
,
.
Если , то из свойства 2 показательной функции и формулы (4) следует, что:
1) ; 2)
; 3)
.
4) или при x=b
.
Степенная функция с вещественным показателем
Полагают, что: .
Функция - непрерывна при x>0 как сложная функция двух непрерывных:
и
.
Из равенства (1) и свойств показательной, логарифмической функций следует: при функция
строго возрастает, а
строго убывает на
.
Функцию , где u(x), v(x) определены на DÍR и
называют показательно-степенной и обозначают
.
Если u и v - непрерывны на D, то uv - непрерывна как сложная функция.