Непрерывность функции

Функция f(x), определенная в некоторой окрестности точки a, называется непрерывной в точке a, если =f(a). (1)

Если при изучении понятия предела рассматривали проколотую d-окрестность точки а и функция могла быть не задана в самой точке а, то необходимым условием непрерывности в точке а является существование значения f(a).

Эквивалентные (1) определения непрерывности функции:

Определение непрерывной в точке функции по Коши. Функция f(x) непрерывна в точке х=а, если .

Определение непрерывной в точке функции по Гейне. Функция непрерывна в точке х=а, еслидля любой последовательности {x_n} значений аргумента сходящейся к a, соответствующая последовательность значений функции {f(x_n)} ® f(a)

Обозначим Dх=х-а – приращение аргумента, тогда разность Dу=f(x)-f(a)=f(a+Dх)-f(a) выражает приращение функции, соответствующее данному приращению аргумента Dх. Из равенства (1) приходим к равносильному определению.

Определение непрерывной в точке функции в терминах приращений. Функция непрерывна в точке х=а, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е. =0.

Определение односторонней непрерывности функции в точке. Если определена в полуинтервале (а-d,а] и f(a-0)=f(a), то функция непрерывна слева в точке а. Для непрерывности справа требуется, чтобы хÎ[a,a+d) и =f(a).

Точка х=а называется точкой разрыва функции f(x), если эта функция либо не определена в точке a, либо определена, но не является непрерывной в ней.

Если не выполнено по крайней мере одно условие: 1) aÎD(f); 2) существует конечный предел =А; 3) f(a)=А, то а – точка разрыва функции f(x).

Классификация точек разрыва

Пусть х=а точка разрыва для f(x) и существуют конечные односторонние пределы f(a-0), f(a+0). Тогда х=а – точка разрыва функции первого рода. В случае, когда разность h = f(a+0) - f(a-0)¹0, то функция в точке а имеет скачок. При выполнении равенства f(a-0)=f(a+0) – устранимый разрыв (полагая f(a-0)=f(a+0)=f(a), функцию можно доопределить по непрерывности в точке а).

Если один (или оба) односторонних предела f(a-0), f(a+0) не существует либо бесконечен, то х=а – точка разрыва второго рода.

Свойства функций, непрерывных в точке:

1) всякая непрерывная в точке функция ограничена в некоторой окрестности этой точки: ($d>0)($c>0):(" ®½f(x)½£c);

2) если f(x) непрерывна в точке х=а и f(a)¹0, то найдется такая d-окрестность точки а, в которой знак функции совпадает со знаком числа f(a), т.е. ($d>0):(" ®f(x)×f(a)>0).

3)если функции f(x), g(x) непрерывны в точке х=а, то в этой точке также непрерывны f(x)± g(x), f(x)× g(x), f(x)/ g(x) (g(а)¹0).

4) Если функция z= g(y) непрерывна в точке y₀, а функция y=f(x) непрерывна в точке x₀ (y₀= f(x₀)), то в некоторой окрестности точки x₀ определена сложная функция g(f(x)), которая непрерывна в точке х₀

операция предельного перехода перестановочна с операцией взятия непрерывной функции: = .