Четырехмерные векторы и тензоры. Четырехмерные скорость и ускорение
Будем называть четырехмерным радиус-вектором 
; 
, вектор с компонентами 
.
При поворотах в четырехмерном пространстве компоненты этого вектора
, или 
(1)
преобразуются по закону
, (2)
причем 
остается постоянным. Последнее означает, что матрица 
преобразования Лоренца ортогональная, т.е.
, или 
, (3)
Действительно,
, (4)
В частном случае движения систем отсчета, когда одноименные координаты ИСО параллельны, относительная скорость направлена вдоль z, и начала координат при 
совпадали, матрица преобразований Лоренца имеет вид
, (5)
В общем случае произвольного направления скорости относительного движения 
преобразование типа (2) можно записать в блочно-матричном виде
, (6)
По аналогии с 4-радиус-вектором любой набор заданных в каждый из ИСО упорядоченных чисел 
называют 4-вектором и обозначают 
, если при переходе от одной ИСО к другой они преобразуются по формулам
; или 
Трехмерный вектор 
называют пространственнй частью 4-вектора, а величину 
по аналогии с четвертой компонентой четырехмерного радиус-вектора - временной составляющей 4-вектора.
Для четырехмерных векторов, как и для трехмерных, можно ввести понятие скалярного произведения
.
Векторы 
и 
называются ортогональными, если 
.
Важной характеристикой 4-вектора является его квадрат
.
Это инвариант, так как
,
или в координатной форме записи
.
Квадрат 4-вектора не является существенно положительным. Если 
, то вектор называется пространственноподобным; а если 
, то вектор называется времениподобным.
Введем два важных 4-вектора: скорости и ускорения.
Необходимо построить 4-вектор скорости так, чтобы он был производной от 4-х мерного радиус-вектора по некоторому инварианту (скаляру). Этот скаляр должен быть таким, чтобы при 
пространственные компоненты скорости превращались в компоненты обычной скорости.
Поэтому естественно определить 4-вектор скорости соотношением
; 
, (7)
.
Подчеркнем, что 
в (7) – интервал собственного времени, то есть времени в мгновенно сопутствующей частице системе и, значит, 
, 
, вообще говоря, переменные величины - функции времени.
Для компонент 4-скрости имеем
, (8)
Квадрат 4-вектора скорости
, (9)
т.е - он является временеподобным вектором.
Определим 4-вектор ускорения как
Для компонент вектора ускорения получим:
.
Легко убедиться, что 
, а это означает, что 4-вектор ускорения является пространственно подобным.
Дифференцируя (9) по 
, находим, что 
, т.е. векторы скорости и ускорения всегда ортогональны.
Наряду с определением 4-вектора можно ввести понятие 4-тензора второго ранга как упорядоченной совокупности заданных в любых ИСО 16 величин 
, которые преобразуются следующим образом
или 
.