Уравнения динамики материальной точки
Под материальной точкой будем понимать тело, размерами которого можно пренебречь.
Если в некоторой ИСО ускорение материальной точки равно нулю, то оно равно нулю и в любой другой ИСО. Это значит, что закон инерции Ньютона инвариантен относительно преобразований Лоренца. С другой стороны, уравнения динамики не инвариантны относительно этих преобразований и требуют обобщения.
Инерционные свойства тела или частицы можно охарактеризовать некоторым скаляром - инвариантной массой или массой покоя m. Масса покоя является константой, характерной для каждого вида элементарных частиц.
Определим 4-импульс частицы 
соотношением
, (1)
или, в компонентах,
; 
, (2)
где, напомним, 
, 
а
.
Очевидно, уравнения (2) для пространственных компонент можно объединить в одно векторное равенство
,
которое в предельном случае 
переходит в обычную формулу классической механики для вектора импульса
.
Естественным релятивистским обобщением уравнений динамики Ньютона являются уравнения
(3)
где 
– некоторый 4-х мерный вектор, называемый 4-х мерной силой или силой Минковского.
Очевидно, эти уравнения релятивистски инвариантны. Их называют уравнениями релятивистской динамики. Запишем их отдельно для пространственных и временной компонент:
, (i=1,2,3),
или
, (4)
При эти уравнения должны превращаться в обычные уравнения Ньютона.
В левой части (4) стоит производная от импульса по обычному времени. Потребуем, чтобы справа стояли компоненты 
обычной силы 
. Тогда формулу (4) можно переписать в виде
, (5)
причем
, i=1,2,3. (6)
Как и требуется, при (5) переходит в обычное уравнение Ньютона. Для временной компоненты получим
. (7)
Чтобы выяснить физический смысл 
, найдем
.
Следовательно, 
, и
. (8)
Подставляя (8) в (7), получим
, (6)
В правой части 
дает работу силы над частицей, производенную в единицу времени, поэтому в левой части стоит изменение энергии в единицу времени. Естественно определить энергию частицы соотношением
, (7)
Ее обычно называют полной энергией, хотя она не включает потенциальную энергию частицы во внешнем поле.
Найдем выражение для трехмерного ускорения 
частицы. Имеем
,
откуда
.