Другие энтропии, другие стрелы
В наших рассуждениях мы дали четкие определения энтропии и стрелы време-
ни . Энтропия — это число состояний, неразличимых с точки зрения макро-
скопического наблюдателя, а стрела времени возникает, потому что во всей
обозримой Вселенной энтропия непрерывно увеличивается . Несмотря на то
что, формулируя эти определения, мы отталкивались от свойств реального
мира, другие люди, употребляя те же самые термины, могут подразумевать
что-то совершенно иное .
Определение энтропии, с которым мы работаем, — то самое, что выграви-
ровано на могильной плите Больцмана, — связывает с каждым индивидуальным
микросостоянием определенную энтропию . Главная особенность этого опре-
деления — его двухэтапность . Сначала мы принимаем решение о том, что же
можно считать «макроскопически неразличимыми» характеристиками со-
стояния, а затем на основании этого разбиваем все пространство состояний
на части — набор макросостояний . Для вычисления энтропии микросостояния
мы берем общее число макроскопически неотличимых от него микросостояний
и вычисляем ее логарифм .
Однако обратите внимание на то, что здесь происходит кое-что очень ин-
тересное . Пусть некоторое состояние эволюционирует с течением времени из
низкоэнтропийной области в высокоэнтропийную . Пусть мы потеряли всю
информацию об этом состоянии, кроме макросостояния, которое оно проходит
в данный момент времени . Тогда со временем мы будем обладать все меньшей
информацией о микросостоянии, которое рассматриваем . Другими словами,
когда нам говорят, что система принадлежит определенному макросостоянию,
вероятность того, что она находится в конкретном микросостоянии из этого
макросостояния, с увеличением энтропии уменьшается — просто потому, что
число вариантов стремительно возрастает . Точность нашей информации о со-
стоянии — насколько верно мы определили микросостояние — уменьшается
по мере того, как энтропия увеличивается . 
Глава 8 . Энтропия и беспорядок
Это подразумевает необходимость иного подхода к определению энтро-
пии, и альтернативный взгляд традиционно связывают с именем Джозайи
Уилларда Гиббса (в действительности Больцман исследовал похожие опреде-
ления, но нам удобнее ассоциировать новый подход именно с Гиббсом, по-
тому что у Больцмана уже один есть) . Вместо того чтобы рассматривать эн-
тропию как характеристику состояний, а именно числа других состояний,
макроскопически неотличимых от рассматриваемого, — мы могли бы считать
энтропию мерой того, что нам известно о состоянии . В больцмановском
подходе сведения о том, в каком макросостоянии мы находимся, по мере
увеличения энтропии теряют информативность: мы не понимаем, о каком
микросостоянии идет речь . Гиббс то же самое рассматривает с другой сто-
роны, и у него энтропия определяется в терминах того, как много мы знаем .
Вместо того чтобы фильтровать пространство состояний, мы начинаем с рас-
пределения вероятностей, указывающего для каждого возможного микро-
состояния шанс, что система действительно сейчас находится в нем . Также
Гиббс дает нам формулу, аналогичную больцмановской, для расчета энтропии,
связанной с данным распределением вероятностей .18 Ничего огрублять не
приходится .
И все же ни больцмановскую формулу для энтропии, ни формулу Гиббса
нельзя назвать «правильной» . Мы сами вводим эти определения, манипули-
руем ими и используем для того, чтобы лучше понять мир; у каждой свои
преимущества и недостатки . Формулу Гиббса часто применяют в прикладных
задачах по одной простой причине: ее проще использовать . Поскольку огру-
бление отсутствует, дискретного изменения значения энтропии при пере-
ходе системы от одного макросостояния к другому не происходит — это
важное преимущество, упрощающее решение уравнений .
Однако подход Гиббса обладает двумя заметными недостатками . Один из
них эпистемологический: идея «энтропии» здесь связывается с нашими зна-
ниями о системе, а не с самой системой . У людей, старающихся с большой
осторожностью рассуждать о том, что же такое на самом деле энтропия, это
продолжает вызывать страшную головную боль, и споры насчет обоснован-
ности этого подхода не утихают . Но тот подход, которого я решил придер-
живаться в этой книге: считать энтропию характеристикой состояния, но не
характеристикой наших знаний о нем, — вроде бы позволяет избежать боль-
шинства проблемных вопросов .
Второй недостаток куда значительнее: если вам известны законы физики
и вы примените их для изучения эволюции «энтропии Гиббса» с течением
времени, вы обнаружите, что ее величина не меняется . Если вдуматься, то ни-
Часть III . Энтропия и ось времени
какой ошибки здесь нет . Энтропия Гиббса описывает то, насколько хорошо мы
понимаем текущее состояние системы . Однако при условии обратимости
физических законов данная величина меняться не будет, ведь информация не
возникает и не разрушается . Для того чтобы энтропия увеличивалась, в будущем
у нас должно стать меньше сведений о состоянии системы, чем есть сейчас; но
мы всегда можем прокрутить пленку назад и посмотреть, что было раньше,
поэтому такая ситуация невозможна . Вывести второе начало термодинамики
или что-то подобное, придерживаясь подхода Гиббса, можно только в том
случае, если «забыть» часть информации о движении . Но если копнуть по-
глубже, то станет очевидно, что с философской точки зрения это то же самое,
что огрубление, с которым мы имели дело в больцмановском подходе; просто
мы перенесли процедуру «забывания» из пространства состояний на уравне-
ния движения .
Тем не менее практическая польза формулы Гиббса для определенных
приложений не вызывает сомнения, и ученые продолжают активно пользо-
ваться ею . Однако и это еще не конец истории; существует несколько других
известных подходов к изучению энтропии, а в литературе непрерывно про-
должают появляться упоминания о новых . Ничего странного в этом нет;
в конце концов, определения Больцмана и Гиббса должны были заменить
вполне достойное определение энтропии, данное Клаузиусом, но оно и по
сей день используется под названием термодинамической энтропии . После
появления на сцене квантовой механики Джон фон Нейман предложил фор-
мулу для энтропии, особым образом адаптированную под квантовый мир .
Клод Шеннон сформулировал определение энтропии, очень близкое по духу
к гиббсоновскому, однако в рамках информационной теории, а не физики —
об этом мы поговорим в следующей главе . Смысл не в том, чтобы найти одно-
единственное истинное определение энтропии . Ученые придумывают по-
нятия, служащие полезным целям в определенных случаях, и это абсолютно
нормально . Не позволяйте никому одурачить вас заявлениями о «единствен-
но верном определении», уникальным образом раскрывающем суть такого
явления, как энтропия .
Точно так же, как существует несколько определений энтропии, есть мно-
жество различных «стрел времени» — еще один потенциальный источник
мошенничества . Мы рассматривали термодинамическую стрелу времени,
определяемую энтропией и вторым началом термодинамики . Но можно также
говорить о космологической стреле времени (Вселенная расширяется), пси-
хологической стреле времени (мы помним прошлое, но не будущее), стреле
времени излучения (электромагнитные волны расходятся прочь от движущих-
Глава 8 . Энтропия и беспорядок
ся зарядов, а не притягиваются к ним) и т . д . Все это разнообразие стрел вре-
мени естественным образом подразделяется на несколько категорий . Часть из
них, например космологическая стрела, отражает факты об эволюции Вселен-
ной, но тем не менее обладает свойством обратимости . Вполне возможно, что
окончательное объяснение термодинамической стрелы времени также рас-
кроет нам глаза на космологическую стрелу (и это действительно кажется
весьма вероятным); в то же время с точки зрения микроскопических законов
физики расширение Вселенной не представляет никакой загадки в отличие от
увеличения энтропии . Другие стрелы, отражающие поистине необратимые
процессы, — психологическую стрелу, стрелу излучения и даже стрелу, опре-
деляемую квантовой механикой, мы будем исследовать позже . Все они кажутся
отражениями одних и тех же глубинных причин, характеризуемых изменением
энтропии . Разобраться в подробностях, как они все взаимосвязаны, несомнен-
но, важно и интересно, однако я продолжу использовать термин «стрела вре-
мени», имея в виду одну конкретную стрелу — ту, что основывается на увели-
чении энтропии .
Доказательство второго
Начала термодинамики
После того как Больцману открылся смысл энтропии как меры количества
микросостояний, соответствующих выбранному макросостоянию, он поставил
себе новую цель: уже на этом уровне понимания установить происхождение
второго начала термодинамики . Я уже рассказывал об основных причинах,
почему второе начало действительно работает: состояний с высокой энтропи-
ей намного больше, чем с низкой, а разные начальные состояния в процессе
развития приходят к разным конечным состояниям, поэтому большую часть
времени (с действительно подавляющей вероятностью) можно ожидать, что
энтропия будет увеличиваться . Однако Больцман был истинным ученым, и ему
недостаточно было лишь этого . Он хотел доказать, что второе начало термо-
динамики следует из его определения .
Довольно непросто вообразить себя на месте ученого, занимающегося
исследованием термодинамики в конце XIX века . Эти ребята чувствовали,
что неспособность энтропии уменьшаться в замкнутой системе не просто
отличная идея, а закон . Мысль о том, что энтропия, вероятно, будет увеличи-
ваться, казалась им не более правдоподобной, чем, например, предположение
о том, что энергия, вероятно, будет сохраняться . И правда, числа настолько
Часть III . Энтропия и ось времени
ошеломляюще велики, что вероятностные выводы статистической механики
можно было бы использовать как абсолютно верные для всех практических
задач . Тем не менее Больцман стремился продемонстрировать нечто более
определенное .
В 1872 году Больцман (в то время ему было двадцать восемь лет) опубли-
ковал статью, в которой предлагал использовать для доказательства того, что
энтропия всегда будет либо увеличиваться, либо оставаться постоянной, кине-
тическую теорию . Этот результат называется H-теоремой, которая с того само-
го времени остается источником множества споров в научной среде . Даже
сегодня одни люди уверены, что H-теорема объясняет незыблемость второго
начала термодинамики в реальном мире, тогда как другие полагают ее всего
лишь забавным пережитком истории интеллектуальной мысли . Правда в том,
что это действительно чрезвычайно интересный результат для статистической
механики, но «доказать» второе начало он все же не в силах .
Больцман размышлял следующим образом . В макроскопическом объекте,
таком как наполненная газом комната или чашка кофе с молоком, присутству-
ет невероятное количество молекул — более 1024 . Он рассматривал такой
случай, когда газ относительно разрежен; в этой ситуации столкнуться могут
две любые частицы, но редкие события, когда одновременно друг в друга вре-
заются три или более частиц, можно игнорировать (это на самом деле не вы-
зывающее претензий предположение) . Нам необходимо найти способ, как
охарактеризовать макросостояние всех этих частиц . Итак, вместо того чтобы
отслеживать положения и импульсы всех молекул (что дало бы нам полное
описание микросостояния), давайте следить за средним числом частиц, обла-
дающих данным положением и импульсом . Например, в контейнере с газом,
находящемся в равновесии при определенной температуре, среднее число
частиц в каждой точке равно, а также существует некоторое распределение
импульсов, такое, что средняя энергия частиц дает нам нужную температуру .
Имея на руках лишь эту информацию, можно вычислить энтропию газа . А затем
(если вы Больцман) доказать, что энтропия газа, пребывающего не в равно-
весном состоянии, будет со временем возрастать, пока не достигнет максималь-
ного значения, после чего останется на этом уровне . Очевидно, что мы вывели
второе начало термодинамики .19
Очевидно, однако, что здесь что-то не чисто . Мы начали с микроскопических
законов физики, совершенно инвариантных относительно направления вре-
мени, — они работают одинаково хорошо как вперед во времени, так и назад .
А Больцман утверждал, что получил на основе этих законов результат, абсо-
Глава 8 . Энтропия и беспорядок
лютно точно не обладающий свойством инвариантности и приводящий к оче-
видной стреле времени, что подтверждается словами об увеличении энтропии
по направлению к будущему . Как же можно получить необратимые результаты
исходя из обратимых предположений?
Данное возражение было громко и ясно высказано Йозефом Лошмидтом
в 1876 году, после того как схожие сомнения появились у Уильяма Томсона
(лорда Кельвина) и Джеймса Клерка Максвелла . Лошмидт был близким другом
Больцмана, взявшим молодого физика под свою опеку в Вене в 1860-е годы .
И он не проявлял никакого скептицизма по отношению к атомной теории;
в действительности Лошмидт первым сумел точно оценить физические раз-
меры молекул . Однако ему было невдомек, как Больцман сделал вывод об
асимметрии времени, не прибегая к помощи его предположений .
Доводы, стоящие за тем, что нам сегодня известно под названием «воз-
ражения Лошмидта об обратимости», просты . Рассмотрим какое-то конкрет-
ное микросостояние, соответствующее макросостоянию с низкой энтропией .
Оно с огромной вероятностью будет развиваться в сторону высокоэнтро-
пийных состояний . Но инвариантность относительно отражения времени
гарантирует, что для каждого такого пути развития существует другой до-
пустимый путь — зеркальное отражение оригинала, — начинающийся
в высокоэнтропийном состоянии и эволюционирующий навстречу низкой
энтропии . В пространстве всех процессов, которые могут происходить
с течением времени, можно найти ровно столько же систем, начинающих
существование в условиях высокой энтропии и приходящих в состояние
с низкой энтропией, как и систем, переходящих из низкоэнтропийного со-
стояния к высокоэнтропийному . На рис . 8 .5, где показано пространство со-
стояний, разделенное на макросостояния, мы нарисовали траекторию, беру-
щую начало в макросостоянии с очень низкой энтропией . Однако траектория
не появляется из ниоткуда; она должна была существовать и до того, и в ее
истории должно было быть состояние с высокой энтропией, — явный пример
пути, вдоль которого энтропия уменьшилась . Очевидно, что если вы верите
в динамику, инвариантную относительно отражения времени (как все эти
ученые), то совершенно невозможно доказать, что энтропия всегда только
увеличивается .20
Однако Больцман что-то доказал, и, насколько можно было судить, в его
рассуждениях не было математических или логических ошибок . Скорее всего,
в его доводы каким-то образом проникло предположение об асимметричности
времени, даже если эта идея не была высказана явно .
Часть III . Энтропия и ось времени
Действительно, так и случилось . Одним из важнейших шагов в аргументах
Больцмана было предположение о молекулярном хаосе — Stosszahlansatz по-
немецки, что можно буквально перевести как «гипотеза о числе столкновений» .
Суть его в том, что мы считаем движение молекул произвольным, то есть они
не строят коварных заговоров с целью подчинить свое движение определенной
схеме . Но для того, чтобы энтропия уменьшалась, именно это и требуется —
коварный заговор! Таким образом, Больцман, в сущности, доказал, что энтро-
пия может увеличиваться только в том случае, если с самого начала отмести
любые альтернативные варианты . В частности, он предполагал, что импульсы
любой пары частиц до того, как они столкнутся, независимы или не скоррели-
рованы между собой . Однако это «до» как раз и иллюстрирует то самое пред-
положение об асимметричности времени; если частицы никак не скоррелиро-
ваны до столкновения, то после между ними установится взаимосвязь или
корреляция . Вот так предположение о необратимости прокралось в доказа-
тельство .
Если взять систему в состоянии с низкой энтропией и позволить ей раз-
виваться по направлению к увеличению энтропии (например, подождать, пока
растает кубик льда), то после того, как все закончится, между молекулами
можно будет найти огромное количество корреляций . В частности, среди них
будут корреляции, гарантирующие, что если мы инвертируем все импульсы, то
система вернется в низкоэнтропийное начальное состояние . В рассуждениях
Больцмана такая возможность учтена не была . Он доказал, что энтропия ни-
когда не будет уменьшаться, если отбросить обстоятельства, при которых эн-
тропия могла бы уменьшиться .