Основні задачі на пряму лінію
а)Рівняння прямої за двома точками 
і 
знаходимо з канонічного рівняння (7) оскільки напрямний вектор 
, то
Приклад. Записати рівняння прямої, якщо 
, 
. Відповідь: 
.
б) Відстань від точки 
до прямої 
знаходиться за формулою
Дійсно, з рис. 8 зрозуміло, що
,
Рис. 8.
де 
– довільна точка прямої. Вектор 
.
Тоді 
Але із загального рівняння прямої 
, тому 
а 
. Отже,
отримуємо (9).
Наприклад, відстань від точки 
до прямої 
за формулою (9) дорівнює
в) Кут між двома прямими 
і 
спочатку знайдемо, коли їх рівняння мають вигляд (див. рис.9)
Рис.9
Оскільки 
а 
, то
Отже, 
– формула тангенса кута між двома прямими.
Зауваження.З рис.9 видно, що між прямими 
і 
- два кути: один – гострий 
, другий – тупий 
. Згідно формули (11) 
- це той кут між прямими і , на який потрібно повернути пряму проти годинникової стрілки від носно їх точки перетину до суміщення її з прямою . У формулі (11) для однозначності нагадує стрілка 
, записана зверху.
Приклад.В рівнобедреному прямокутному трикутнику АВС відома вершина прямого кута С(-1,2) і рівняння гіпотенузи АВ 
. Скласти рівняння катетів.
Розв’язання.Рівняння прямої, що проходить через точку С знаходимо за формулою пучка прямих 
, де кутовий коефіцієнт 
для прямої АС і 
для прямої ВС.
За умовою ÐА=ÐВ=45°, tg45°=1, тому 
і 
знаходимо за формулою (11), ураховуючи зауваження до неї.
Спочатку знайдемо і рівняння катета АС.
Оскільки поворот прямої АВ на кут 45° проти годинникової стрілки відносно точки А приводить до суміщення з прямою АС, то у формулі (11) 
, а 
. Із рівняння АВ: 
, тому 
За формулою пучка рівняння прямої АС запишеться
(АС) 
.
Аналогічно знайдемо і рівняння ВС. При вершині В за формулою (11) відповідно беремо 
, а 
, ÐВ=45°
Рівняння прямої ВС:
(ВС) 
Якщо 
– прямі паралельні, то 
і тоді
– умова паралельності двох прямих.
Якщо ж 
, то 
, а
або
- умова перпендикулярності двох прямих.
Якщо ж прямі задані загальними рівняннями
то кут між ними можна знаходити, як кут між їх нормальними екторами 
(див. рис. 10); 
Рис.10
косинус кута між двома прямими і , заданими загальними рівняннями.
Якщо , то
– умова паралельності. Якщо ж 
, то
– умова перпендикулярності прямих.
г) Рівняння прямої, що проходить через задану точку паралельно прямій .
Розв’язання. Кожного разу, коли задається точка, то рівняння прямої краще знаходити за формулою (5) пучка прямих
,
де 
– знаходимо із загального рівняння заданої прямої і умови паралельності прямих (12).
Наприклад, скласти рівняння прямої, що проходить через точку 
паралельно прямій 
.
Розв’язання. Із загального рівняння прямої 
, а за умовою паралельності прямих 
, тоді отримуємо 
.
д) Рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно прямій .
Із загального рівняння 
, а за умовою перпендикулярності маємо 
, тоді шукане рівняння за формулою пучка
Приклад. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку 
перпендикулярно до прямої 
.
Розв’язання. Із 
. Тоді
Відповідь:
.
е) Точка перетину прямих і , якщо вони не паралельні
знаходиться як розв’язок системи
Приклад. Знайти точку перетину прямих. Зробити рисунок, побудувавши графіки.
Розв’язання. Розв’яжемо дану систему рівнянь, домноживши перше рівняння на 2 і додавши результат з другим рівнянням
Підставивши 
в перше рівняння маємо:
Отже, точка перетину 
.
Побудуємо графіки за рівняннями, що входять в систему. Побудову краще виконати у відрізках на осях
