Обобщенный импульс. Преобразование Лежандра. Уравнения Гамильтона
Каждой обобщенной координате соответствует обобщенный импульс:
Рассмотрим функцию :
перейдем от к
Здесь - функция переменных
и
.
- отсюда находим
. Это и есть преобразование Лежандра.
Рассмотрим функцию Лагранжа . От
и
перейдем к
и
:
- обобщенный импульс
используя уравнение Лагранжа , получим:
Мы перешли к переменным ,
,
. По определению:
- функция Гамильтона.
Выразим через
и
. Из
получаем
. Запишем
:
Сравнивая два этих выражения, получаем:
Это уравнения движения Гамильтона, их так же называют каноническими. Их штук. В отличие от
дифференциальных уравнений Лагранжа, которые были 2-го порядка, эти
дифференциальных уравнений первого порядка. Для решения
уравнений надо задать
начальных условий, или
динамических переменных в какой-то момент времени:
и
.
и
- динамические переменные в методе Гамильтона.
Обратимся к равенству . Величины
и
называют канонически сопряжёнными величинами (по Гамильтону). Канонические преобразования в методе Гамильтона служат для перехода от одних динамических переменных к другим.
Функцию Гамильтона можно также получить ещё с помощью вариационного метода.
Фазовое пространство.
В методе Гамильтона рассмотрим мерное пространство, где по осям откладываются переменные
, это и есть фазовое пространство. Точка в нём – фазовая точка. Здесь каждая точка описывает определённое динамическое состояние системы. При движении системы, фазовая точка описывает траекторию, называемую фазовой траекторией.
Функция Гамильтона и её свойства.
Функция Лагранжа задаётся неоднозначно, т.е.
, где
приводят к одним и тем же уравнениям движения.
То же самое справедливо и для функции Гамильтона:
, где
Функция Гамильтона простейших систем.
1. Свободная материальная точка:
Ее потенциальная энергия равна нулю, тогда
Получим для данного случая:
Используем , тогда получим:
2. Система свободных материальных точек:
3. Замкнутая система материальных точек
, где
4. материальных точек во внешнем поле:
5. материальных точек в стационарном внешнем поле:
- зависит только от
Отличие 5-го и 3-го случая заключается в том, что в 5-м случае -составляющая во внешнем поле, она аддитивна -
; если взаимодействие частиц с внешним полем одинаково, то
.
6. Замкнутая система двух материальных точек:
в силу однородности и изотропности пространства можем записать:
Задачи
1. Найти функцию Гамильтона для одной материальной точки в декартовых, цилиндрических и сферических координатах.
Решение. В декартовых координатах x, y, z:
В цилиндрических координатах r, φ, z:
В сферических координатах r, θ, φ: