Затухающие одномерные колебания
Если собственные частоты системы существенно меньше частот процессов диссипации, то можно обойтись только механикой (без термодинамики). Когда колебания малы, то функцию среды можно записать в квадратичном виде, например: 
(свободное колебание)
здесь 
.
показатель затухания
1. 
-апериодический процесс – колебаний нет
2. 
, где 
тогда
тогда 
, т.е. энергия расходуется на трение.
т.е. для поддержания колебаний необходим приток энергии извне.
Рассмотрим аналогичную задачу для 
степеней свободы:
слагаемое в правой части означает воздействие внешней силы.
-диссипативная функция.
решение ищется в виде 
, тогда:
умножим на комплексно-сопряженное:
В силу симметрии эти числа вещественны:
Вводятся обозначения:
и 
Элементы тензорного анализа в классической механике.
Введём координаты 
и 
, которые повернуты относительно 
и 
на угол 
.
здесь 
не зависит от выбора координат.
- это матрица перехода (в нашем случае матрица поворота).
Тензор представим в виде матрицы, а матрица не представима в виде тензора. Рассмотрим свойства матрицы 
:
- сумма по индексу 
,
где 
- единичная матрица
Тогда:
Если 
, то это соответствует 
и 
.
-инверсия
- вращение
, 
при 
:
-компонента вектора (тензора первого ранга)
Можно ввести некоторые объекты 
, где компонент будет 
, которые преобразуются по правилу:
,
где - тензор
Для криволинейных координат вводятся контравариантные векторы 
и ковариантные векторы 
.
и 
- различные системы векторов
, 
здесь 
и 
- различные величины.
Оператор .
Оператор набла – векторный дифференциальный оператор. Оператор набла можно ввести по-другому:
Часто знак суммы опускают (правило суммирования Эйнштейна).
Запишем условие ортонормированности рассматриваемого базиса:
Действия оператора набла:
1. Оператор набла действует на скалярную функцию F:
или 
2. Оператор набла скалярно действует на векторную функцию 
:
3. Оператор набла векторно умножается на векторную функцию 
:
Кроме векторного и скалярного, есть ещё смешенное произведение векторов:
- объем параллелепипеда.
- единичный антисимметричный тензор третьего ранга.
Задачи
1. Вычислить градиент функции f(r), зависящей только от модуля радиус-вектора r.
Решение. 
2. Вычислить 
где p – постоянный вектор.
Решение. 
Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в вакууме.
Будем использовать гауссову систему единиц.
и 
являются источниками поля. Уравнения Максвелла позволяют по заданным источникам рассчитать электромагнитное поле. Уравнениям Максвелла в дифференциальной форме ставятся в соответствие уравнения в интегральной форме.