Колебания с n степенями свободы
, где 
- 
-мерный вектор.
В точке 
- экстремум(минимум):
- условие минимума, оно понимается в смысле квадратичных форм, т.е. если умножить на вектор слева и на вектор справа, то образуется положительная скалярная величина:
, для 
, где 
Тогда функция Лагранжа имеет вид:
она описывает малые свободные гармонические колебания.
Уравнение движения для данной системы:
Аналогично можно получить:
Подставим полученные формулы в уравнение движения, тогда получим:
- система линейных однородных дифференциальных уравнений.
Эта система имеет нетривиальное решение, если:
- дисперсионное уравнение
Это матрицы 
с действительными коэффициентами.
имеет решений 
, 
, где 
- номер корня.
умножим это выражение на 
и просуммируем:
, 
Получаем:
-матричное уравнение
пусть 
:
,
т.к. 
, тогда:
Из определения матриц 
и 
следует, что
Можно показать, что 
- вещественные числа, тогда 
т.е. матрицы симметричные, значит:
(23.1)
Запишем два матричных уравнения:
воспользуемся свойством (23.1) и сложим два этих уравнения:
т.к. корни различны, то при 
получаем 
.
Если 
, то 
, но она неопределённая. Эта неопределённость исключается нормировкой:
Эта нормировка позволяет найти неопределённый параметр 
для всех корней.
Таким образом:
Рассмотрим матрицу :
тогда:
, где 
-диагональная матрица.
Тогда 
- преобразование с помощью которого переводится в единичную, а диагонализируется.
, где 
Тогда:
Переменные - нормальные координаты, или главные колебания. Это простейшая форма колебаний.
- комплексная константа.
и 
находятся из начальных условий:
, и 
, т.е. 
- единичная матрица.
для того чтобы получить единицу перед 
надо левую и правую часть умножить на 
:
Для компоненты 
:
Начальные условия:
Схема решения задач:
1. Составить дисперсионное уравнение.
2. решаем, находим корни(собственные частоты)
3. находим решения для нормальных координат
4. из решения уравнений находим коэффициент 
:
находим матрицу, искомый коэффициент.
5. зная 
и 
находим и
6. через 3. находим
7. находим 
Рассмотрим колебательный LC-контур
, 
- функция Лагранжа для данной системы.
 |
Рассмотрим контур
- энергия, связанная с наличием индуктивности в системе,
Энергия, связанная с конденсатором 
,
- емкости
- электростатическая индукция
Задачу эту необходимо упрощать.
Рассмотрим задачу:
Свободные колебания двухатомной молекулы.
- коэффициент взаимодействия.
здесь 
- удлинение по сравнению с равновесным состоянием пружины.
, 
- координаты точек в отсутствии деформации пружины.
, 
- координаты точек в деформированном состоянии
Можем найти потенциальную энергию.
Вводим переменные 
и 
Найдём 
и 
:
и 
1. Составим дисперсионное уравнение:
Решая его получим два корня:
и 
2. Напишем дифференциальные уравнения для нормальных колебаний:
- здесь колебаний нет, т.к.
, где 
3. Найдём матрицу .
Используем уравнения: 
Пусть 
, тогда:
значит 
.
Аналогично рассуждая для 
получим:
и из условия нормировки:
, где 
тогда:
, 
, 
, но 
- диагональная, тогда:
Здесь 
- координата центра масс
Рассуждая аналогично для 
, получим:
, где 
Пусть 
, 
, 
, тогда:
и 
, тогда 
Подставляя сюда выражения для 
и 
получим:
Итак, решение задачи:
Задачи
1. Определить малые колебания двойного плоского маятника.
 |
Решение. Для малых колебаний
найденная в задаче 1 параграфа 6 функция Лагранжа принимает вид :
.
Уравнения движения:
После подстановки (23,6) :
Корни характеристического уравнения:
Ответ: 
.
При 
частоты стремятся к пределам 
и 
, соответствуют независимым колебаниям двух маятников.