Интегралы движения в методе Гамильтона
Рассмотрим полную производную функцию обобщенных координат, обобщенных импульсов и времени 
:
Используем уравнения движения Гамильтона 
:
Здесь мы ввели обозначение:
- скобки Пуассона
Если 
, то 
. В этом случае мы можем сформулировать условие того, что функция 
интеграл движения:
Чтобы была интегралом движения, скобки Пуассона 
должны обращаться в нуль.
Скобки Пуассона и их свойства.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. тождество Якоби 
7. 
Докажем свойство 7:
используем свойства 5 и 6:
используем свойство 1:
используем свойство 3:
Теорема Пуассона:
Пусть 
и 
интегралы движения, это означает, что 
и 
, тогда согласно свойству 7:
=0
Скобки Пуассона интегралов движения являются интегралом движения. Если мы знаем интегралы движения, то с помощью скобок Пуассона можно получать более удобные формы интегралов движения.
Рассмотрим частные случаи скобок Пуассона:
1. 
т.к. 
и 
, то
2. 
3. 
Учитывая 
, 
, 
, 
получаем:
4. 
5. 
6. 
, 
, тогда:
7. 
8. 
Здесь 
- компонента вектора 
- функции от координат и импульсов.
, здесь 
- скаляр.
, здесь 
- скалярная функция координат и времени.
Задачи
1. Определить скобки Пуассона, составленные из декартовых компонент импульса р и момента импульса материальной частицы.
Ответ: 
=-pz
=0, 
=-py
2. Определить скобки Пуассона, составленные из компонент М.
Ответ: 
=-Mz, 
=-Mx , 
=-My.
3. Показать, что
=0, 
,
где φ – любая скалярная функция координат и импульса частицы.
Указание. Скалярная функция может зависеть от компонент векторов r и pтолько в комбинациях r2,p2, 
. Поэтому
и аналогично для 
.
4. Показать, что
= 
,
где f – векторная функция координат и импульса частицы, а n – единичный вектор в направлении оси z.
Указание. Произвольный вектор f(r, p) может быть написан в виде 
где 
- скалярные функции
Малые колебания и свойства потенциальной энергии.
Рассмотрим систему с одной степенью свободы и исследуем функцию 
на экстремумы.
(отсюда получаем координаты точек равновесия для графика).
(21.1)
или 
; 
; 
Итак: 
, т.к. 
, 
, 
, 
.
Отбросим в (21.1) слагаемые, начиная с третьего члена - получим параболический вид потенциальной энергии.
Если потенциальная энергия возрастает при удалении от положения равновесия, то в этом случае 
- точка устойчивого равновесия.
Рассмотрим точку 
, - точка неустойчивого равновесия.
Колебания называются малыми, если в разложении последующие члены значительно меньше первых трёх:
Колебания, удовлетворяющие этому условию, называются линейными (гармоническими). Учёт последующих членов приводит к нелинейности или ангармоничности колебаний.