Поведение электромагнитного поля при переходе через границу раздела двух сред
Рассмотрим поведение электромагнитного поля при переходе через границу раздела двух сред с различными материальными характеристиками. Используем теорему Остроградского-Гаусса и теорему Стокса:
Теорема Остроградского-Гаусса:
т.е. совершается следующий переход:
Теорема Стокса:
Запишем первое и четвёртое уравнения Максвелла в среде:
Имеется граница раздела – поверхность, отделяющая одну среду от другой.
- нормаль к поверхности.
- скачок функции на границе раздела двух сред.
Рассмотрим цилиндр, образующие которого перпендикулярны поверхности 
. По объёму 
проинтегрируем первое уравнение Максвелла:
Воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса:
При 
а следовательно и 
В последнем равенстве мы воспользовались теоремой о среднем.
Аналогично:
Тогда:
В пределе, при 
, 
- заряд на поверхности раздела двух сред 
Пусть в пределе 
, при этом
В результате получаем:
Если на поверхности нет свободных зарядов, то 
и 
, т.е. 
- непрерывна.
Аналогично рассмотрев второе уравнение Максвелла
Получим
Т.е. 
- всегда непрерывна, её скачок всегда равен нулю.
Теперь рассмотрим четвёртое уравнение Максвелла
Тогда по теореме Стокса:
Рассмотрим левую часть этого равенства:
Второе слагаемое, при даёт 0.
- ток, протекающий через поверхность , причём ток положителен в направлении нормали 
При 
Воспользуемся теоремой о среднем:
Рассмотрим предельный переход при , тогда 
- поверхностный ток, текущий через 
перпендикулярно чертежу.
При 
- ток, текущий по поверхности, в расчёте на длину.
В результате получаем:
Если 
, то 
- непрерывна.
Аналогично для третьего уравнения Максвелла:
Имеем:
Т.е. тангенциальная составляющая электрического поля непрерывна.
Определим 
тогда 
Ввиду произвольности , это выражение эквивалентно выражению:
