Тема 17. Побудова довірчих інтервалів
1. У будинку відпочинку випадковим способом було відібрано 20 осіб і виміряно їх зріст хі. Здобуті результати наведено у вигляді інтервального статистичного розподілу:
| хі, см | 165,5–170,5 | 170,5–175,5 | 175,5–180,5 | 180,5–185,5 |
| ni |
Із надійністю γ = 0,99 побудувати довірчий інтервал для 
, якщо 
.
2. У 25 осіб було виміряно кров’яний тиск хі (в умовних одиницях). Результати вимірювання наведено у вигляді дискретного статистичного розподілу:
| хі | 1,5 | 1,8 | 2,3 | 2,5 | 2,9 | 3,3 |
| ni |
Із надійністю γ = 0,999 побудувати довірчий інтервал для , якщо 
.
3. Виміряна максимальна місткість конденсаторів хі (у пікофарадах). Результати вимірювання наведено у вигляді інтервального статистичного розподілу:
| xi пФ | 4,0–4,2 | 4,2–4,4 | 4,4–4,6 | 4,6–4,8 | 4,8–5,0 |
| ni |
З надійністю 
побудувати довірчий інтервал для , якщо 
.
4. У 30 телевізорів була виміряна чутливість хі. Результати вимірювання подано як дискретний статистичний розподіл:
| xi, мкВ | |||||||
| ni |
Із надійністю γ = 0,99 побудувати довірчий інтервал для 
, якщо 
.
5. У 25 випадково відібраних деталей була виміряна відстань у мікронах від центру маси, що міститься на її осі, до зовнішньої поверхні. Результати вимірювання наведено у вигляді інтервального статистичного розподілу:
| Межі інтервалів xi, мк | 80–96 | 96–112 | 112–128 | 128–144 | 144–160 |
| ni |
З надійністю γ = 0,999 побудувати довірчий інтервал для , якщо 
.
6. З партії однотипних запобіжників відібрано 24 шт. Вимірювання відхилення від номіналу в кілоомах хі наведено як дискретний статистичний розподіл:
| xi, кОм | – 1 | – 2 | |||||
| ni |
Із надійністю γ = 0,99 побудувати довірчий інтервал для , якщо 
.
7. З партії однотипних пляшок навмання було вибрано 28 шт., і в кожній із них була виміряна глибина пазу (канавки) хі. Результати вимірювання наведено як інтервальний статистичний розподіл:
| xi, мм | 2,4–2,6 | 2,6–2,8 | 2,8–3,0 | 3,0–3,2 | 3,2–3,4 |
| ni |
З надійністю γ = 0,999 побудувати довірчий інтервал для , якщо 
.
8. 28 однотипних приладів були випробувані щодо їх безвідмовної роботи хі. Результати вимірювання наведено як дискретний статистичний розподіл:
| xi, год | ||||||
| ni |
З надійністю γ = 0,99 побудувати довірчий інтервал для , якщо .
9. У 30 випадково вибраних валиках виміряні відхилення їх діаметрів від номіналу хі. Результати вимірювань наведено як інтервальний статистичний розподіл:
| xi, мм | 5–10 | 10–15 | 15–20 | 20–25 | 25–30 |
| ni |
З надійністю γ = 0,999 побудувати довірчий інтервал для , якщо 
.
10. Навмання вибрано 29 різців, які випробувані на знос. Результати експерименту наведено у вигляді дискретного статистичного розподілу:
| хi, год | |||||||
| ni |
З надійністю γ = 0,99 побудувати довірчий інтервал , якщо .
11. Залежність собівартості Y одного примірника книги від тиражу Х досліджувалась видавництвом. Результати дослідження наведено у вигляді двовимірного статистичного розподілу. Потрібно із надійністю γ = 0,99 побудувати інтервали для 
.
| X = xj,тис. прим. | Y = yi, грн. | ||||||
| 10,15 | 5,52 | 4,08 | 2,85 | nxj | |||
| – | |||||||
| – | |||||||
| – | – | ||||||
| – | – | ||||||
| nyi | |||||||
12. Залежність річної продуктивності праці в розрахунку на одного робітника 
від енергомісткості праці 
на підприємствах однієї галузі наведено в таблиці. Потрібно із надійністю γ = 0,999 побудувати довірчі інтервали для 
| уі, грн. | 5,4 | 5,6 | 6,2 | 6,8 | 7,1 | 7,8 | 8,5 | 9,1 | 10,5 | 10,9 |
| хі, Вт/робітн. | 1,8 | 2,1 | 2,8 | 3,0 | 3,2 | 3,8 | 3,9 | 4,2 | 4,5 | 4,8 |
| уі, грн. | 11,0 | 11,6 | 12,1 | 12,7 | 13,2 | 13,9 | 14,1 | 14,6 | 14,9 | 15,4 |
| хі, Вт/робітн. | 5,2 | 5,8 | 5,9 | 6,2 | 6,9 | 7,2 | 7,5 | 8,5 | 8,8 | 9,4 |
13. Середня температура у квітні в Києві Х і Донецьку Y вимірювалась протягом 40 років. Результати вимірювання наведено у вигляді двовимірного статистичного розподілу. Потрібно із надійністю γ = 0,99 побудувати довірчі інтервали для 
.
| Y = yi | Х = хi | |||||
| nyi | ||||||
| – | – | |||||
| – | ||||||
| – | ||||||
| nxj |
14. На підприємствах однієї галузі промисловості була досліджена залежність річної продуктивності праці одного робітника Y від енергомісткості виробництва Х. Результати дослідження наведено у вигляді парного статистичного розподілу. Потрібно із надійністю γ = 0,999 побудувати довірчий інтервал для 
.
| yi, тис. грн/робітн. | 2,88 | 2,91 | 2,92 | 2,96 | 3,01 | 3,11 | 3,21 | 3,25 |
| хі, кВт/робітн. | 2,07 | 2,12 | 2,41 | 2,59 | 2,89 | 2,92 | 3,01 | 3,12 |
| yi, тис. грн/робітн. | 3,32 | 3,36 | 3,42 | 3,46 | 3,58 | 3,88 | 4,12 |
| хі, кВт/робітн. | 3,21 | 3,29 | 3,31 | 3,35 | 3,41 | 3,48 | 3,81 |
15. Проводяться випробування міцності 100 волокон залежно від їх товщини. Результати експериментів задано двовимірним статистичним розподілом. Потрібно із надійністю γ = 0,99 побудувати довірчі інтервали для 
.
| Y = yi | Х = хj, мк | |||||
| nyi | ||||||
| 6,75 | – | – | ||||
| 6,25 | – | – | ||||
| 5,75 | – | – | ||||
| 5,25 | – | – | ||||
| 4,75 | – | – | – | – | ||
| nxj |
16. Досліджувалась залежність кількості гризунів уі, що загинули, від концентрації спожитого яду (в умовних одиницях). Результати досліджень наведено у вигляді парного статистичного розподілу. Потрібно із надійністю γ = 0,999 побудувати довірчий інтервал для 
.
| уі | |||||||||
| хі | 3,5 | 4,5 | 5,5 | 6,5 |
| уі | |||||||||
| хі | 7,5 | 8,5 | 9,5 | 10,5 | 11,5 |
17. На заводі «Азовсталь» вимірювався вміст кремнію (у %) у чавуні за різних температур шлаку. Потрібно із надійністю γ = 0,99 побудувати довірчий інтервал для .
| Y = yi (t° C) | Х = хj (Si (%)) | |||||
| 0,27 | 0,32 | 0,42 | 0,51 | 0,65 | nyi | |
| – | ||||||
| – | ||||||
| – | – | |||||
| – | – | – | ||||
| nxj |
18. У навмання вибраних однотипних телевізорів вимірювалась чутливість відео уі та звукового хі каналів. Результати перевірки наведено як парний статистичний розподіл. Потрібно із надійністю γ = 0,999 побудувати довірчий інтервал для .
| уі | |||||||||
| хі |
| уі | |||||||||
| хі |
19. У лабораторних умовах здійснювався експеримент з метою визначення залежності кількості речовин, що розчинюється у воді уі від температури останньої хі. Результати експерименту наведено у вигляді двовимірного статистичного розподілу. Потрібно із надійністю γ = 0,99 побудувати довірчий інтервал для .
| Y = yi | Х = хj, °С | |||||
| nyi | ||||||
| – | – | |||||
| – | ||||||
| – | – | |||||
| nxj |
20. Результати проведеного аналізу залежності числа проданих пар чоловічого взуття уі від його розміру хі подано у вигляді парного статистичного розподілу. Потрібно із надійністю γ = 0,99 побудувати довірчий інтервал для 
| уі | ||||||||||||||
| хі | 38,5 | 37,5 | 36,5 | 35,5 |
21.Знайти довірчий інтервал для оцінки з надійністю 0,99 невідомого математичного сподівання a нормально розподіленої ознаки c генеральної сукупності, якщо відомі генеральне середньоквадратичне відхилення s = 4, вибіркова середня 
= 10,2 та об’єм вибірки n = 16.
22.Одним і тим же пристроєм, який має середньоквадратичне відхилення випадкових помилок вимірів s = 40 м, проведено 5 рівноточних вимірювань відстані від зброї до цілі. Знайти довірчий інтервал для оцінки відстані a до цілі з надійністю g = 0,95, знаючи середнє арифметичне результатів вимірювань = 2000 м.
23.Вибірка із великої партії електроламп складає 100 ламп. Середній період горіння лампи вибірки дорівнює 1000 годин. Знайти з надійністю 0,95 довірчий інтервал для середнього періоду a горіння лампи всієї партії, якщо відомо, що середнє квадратичне відхилення періоду горіння s = 40 годин.
24.Станок-автомат штампує валики. По вибірці об’єму n = 100 порахована вибіркова середня діаметрів виготовлених валиків. Знайти з надійністю 0,95 точність d, з якою вибіркова середня оцінює математичне сподівання діаметрів валиків, що виготовляються, знаючи, що їх середньоквадратичне відхилення s = 2 мм.
25.Знайти мінімальний об’єм вибірки, при якому з надійністю 0,925 точність оцінки математичного сподівання нормально розподіленої генеральної сукупності за вибірковою середньою буде дорівнювати 0,2, якщо відоме середнє квадратичне відхилення генеральної сукупності s = 1,5.
26.Знайти мінімальний об’єм вибірки, за якого з надійністю 0,925 точність оцінки математичного сподівання нормально розподіленої генеральної сукупності за вибірковою середньою буде дорівнювати 0,4, якщо відомо середнє квадратичне відхилення генеральної сукупності s = 1,8.
27.Із генеральної сукупності взята вибірка об’ємом n = 10:
| - 2 | |||||
|
28.Оцінити з надійністю 0,95 математичне сподівання a нормально розподіленої ознаки генеральної сукупності за вибірковою середньою, використовуючи довірчий інтервал.
29.Із генеральної сукупності взята вибірка об’ємом n = 12:
|
| -0,5 | -0,4 | -0,2 | 0,2 | 0,6 | 0,8 | 1,2 | 1,5 | ||
|
|
30.Оцінити з надійністю 0,95 математичне сподівання a нормально розподіленої ознаки генеральної сукупності за допомогою довірчого інтервалу.
31.За даними 9 незалежних рівноточних вимірювань деякої фізичної величини відомі середнє арифметичне результатів вимірювань =30,1 та виправлене середньоквадратичне відхилення S=6. Оцінити дійсне значення вимірюваної величини за допомогою довірчого інтервалу з надійністю g = 0,99.
32.За даними 16 незалежних рівноточних вимірювань деякої фізичної величини відомі середнє арифметичне =42,8 та виправлене середньоквадратичне відхилення S=8. Оцінити дійсне значення вимірюваної величини з надійністю g = 0,999.
33.За даними вибірки об’ємом 
із генеральної сукупності знайдено виправлене середньоквадратичне відхилення 
нормально розподіленої кількісної ознаки. Знайти довірчий інтервал, який покриває генеральне середньоквадратичне відхилення s з надійністю 0,95.
34.За даними вибірки об’ємом n із генеральної сукупності нормально розподіленої кількісної ознаки відомо виправлене середньоквадратичне відхилення S. Знайти довірчий інтервал, який покриває генеральне середньоквадратичне відхилення s з надійністю 0,999, якщо: а) n = 10, S = 5,1,
б) n = 30, S = 14.
35.Провели 12 вимірювань одним пристроєм (без систематичних помилок) деякої фізичної величини, при цьому виправлене середньоквадратичне відхилення S випадкових помилок вимірювання виявилось рівним 0,6. Знайти точність пристрою з надійністю 0,99. Вказівка. Оскільки точність пристрою характеризується середнім квадратичним відхиленням випадкових помилок вимірювань, тому задача зводиться до відшукання довірчого інтервалу.
36.Проведено 10 вимірювань одним пристроєм (без систематичних помилок) деякої фізичної величини, при цьому виправлене середньоквадратичне відхилення випадкових помилок вимірювання виявилось рівним 0,8. Знайти точність пристрою з надійністю 0,95. Вказівка. Оскільки точність пристрою характеризується середнім квадратичним відхиленням випадкових помилок вимірювань, тому задача зводиться до відшукання довірчого інтервалу.
37.Вимірявши 40 випадково відібраних після виготовлення деталей, знайшли вибіркову середню, що дорівнює 15 см. Із надійністю g = 0,99 побудувати довірчий інтервал для середньої величини всієї партії деталей, якщо генеральна дисперсія дорівнює 0,09 см2.
38.Маємо такі дані про розміри основних фондів (у млн. грн.) на 30-ти випадково вибраних підприємствах:
4,2; 2,4; 4,9; 6,7; 4,5; 2,7; 3,9; 2,1; 5,8; 4,0;
2,8; 7,8; 4,4; 6,6; 2,0; 6,2; 7,0; 8,1; 0,7; 6,8;
9,4; 7,6; 6,3; 8,8; 6,5; 1,4; 4,6; 2,0; 7,2; 9,1.
Побудувати інтервальний статистичний розподіл із довжиною кроку h=2 млн. грн. З надійністю g = 0,999 знайти довірчий інтервал для 
, якщо 
=5 млн. грн.
39.Якого значення має набувати надійність оцінки g, щоб за обсягу вибірки n=100 похибка її не перевищувала 0,01 при = 5.
40.Визначити обсяг вибірки n, за якого похибка, що дорівнює 0,01, гарантується з ймовірністю 0,999, якщо = 5.
41.Випадково вибрана партія з двадцяти приладів була випробувана щодо терміну безвідмовної роботи кожного з них. Результати випробувань наведено у вигляді дискретного статистичного розподілу:
|
| |||||
|
|
З надійністю g = 0,99 побудувати довірчий інтервал для середнього часу безвідмовної роботи приладу a.
42.У таблиці наведено відхилення діаметрів валиків, оброблених на верстаті, від номінального розміру.
| 0 – 5 | 5 – 10 | 10 – 15 | 15 – 20 | 20 – 25 |
|
|
Із надійністю g = 0,99 побудувати довірчий інтервал для 
= a.